Fonction inverse

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 Cet article traite de la fonction qui à x associe 1/x. Pour les fonctions f⁻¹ telles que si y=f(x), alors x=f⁻¹(y), voir Bijection réciproque.
Représentation graphique de la fonction inverse entre 0 et 5.

En mathématiques, la fonction inverse est définie de la manière suivante :

Variations[modifier | modifier le code]

Cette fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ]–∞, 0[ des réels strictement négatifs, puis strictement décroissante sur l'intervalle ]0, +∞[ des réels strictement positifs, avec 0 comme "valeur interdite" (pôle). On prendra garde de ne pas dire que la fonction est strictement décroissante sur ℝ* car si a < 0 < b, on conserve l'inégalité 1/a < 0 < 1/b.

La fonction inverse ne s'annule pas et n'admet pas de maximum ou minimum sur tous les réels non nuls.

Elle a pour limite 0 en +∞ et en –∞. Cette fonction, et de manière générale les fonctions inverse des polynômes, permet donc de modéliser un certain nombre de comportements qui décroissent mais qui présentent une « borne inférieure » (les fonctions ne tendent pas vers –∞), comme la gravitation et la force électrostatique qui sont en 1/r2.

En 0, sa limite à gauche vaut –∞ et à droite, +∞.

Exemples de calcul d'image et d'antécédent[modifier | modifier le code]

Soit la fonction inverse définie sur . L'image d'une point par la fonction inverse se calcule en remplaçant x par ce point. Prenons par exemple l'image des points -3 et 2, on obtient :

.

Concernant le calcul d'antécédent d'une valeur non nulle a, il faut résoudre l'équation et déterminer l'inconnue x.

Remarque : l'image d'un point est unique contrairement aux antécédents. Dans le cas de la fonction inverse chaque point admet un unique antécédent.

Calculons par exemple l'antécédent des points -5 et .

Représentation graphique[modifier | modifier le code]

Representation fonction inverse.png

La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole.

L'hyperbole d'équation admet deux asymptotes : une horizontale (l'axe des abscisses) et une verticale (l'axe des ordonnées). Ces deux asymptotes étant perpendiculaires, l'hyperbole est dite équilatère (son excentricité vaut ).

À l'aide du graphique, il devient facile de repérer les deux types d'asymptotes présentes dans cette fonction:

  • une asymptote verticale, qui a pour équation :  ;
  • une asymptote horizontale, qui a pour équation : .

Observons graphiquement que l'hyperbole admet une symétrie centrale O. Autrement dit la fonction inverse est une fonction impaire, c'est-à-dire que si on note la fonction inverse sur tous les réels non nuls.

On remarque enfin que, dans un repère orthonormal, cette hyperbole possède un axe de symétrie D:y = x. En effet le point M(x ; y) appartient à (H) si et seulement si le point M'(y ; x) appartient à (H) .(y=1/x équivaut à x= 1/y). Cette propriété graphique permet de remarquer que la fonction inverse est une involution, c'est-à-dire une bijection qui est sa propre réciproque : . Ou bien encore, pour tout réel x non nul, l'inverse de l'inverse de x est égal à x.

Dérivée de la fonction inverse[modifier | modifier le code]

La dérivée de la fonction inverse est la fonction f’ définie par :

.

Illustration :

Representation tangent 11 fonction inverse.png

La dérivée de au point d'abscisse 1 vaut donc la pente de la tangente à la courbe de la fonction inverse au point de coordonnées (1,1) vaut –1.

La fonction inverse est concave sur l'intervalle ]–∞, 0[ et convexe sur ]0, +∞[.

Primitives de la fonction inverse[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Logarithme naturel.

Le logarithme naturel, ou logarithme népérien, noté ln, est défini dans l'article détaillé comme la fonction de ]0,+∞[ dans ℝ dont la dérivée est la fonction inverse, et dont la valeur en 1 est 0. Les primitives sur ]0,+∞[ de la fonction inverse sont donc les fonctions de la forme x↦(lnx)+C, où C est une constante réelle arbitraire.

Fonction inverse abstraite[modifier | modifier le code]

On peut définir de manière générale une fonction inverse dans un groupe par

L'inverse permet donc d'étendre aux exposants entiers négatifs la notion de puissance d'un nombre (ou d'un élément d'un groupe) en posant, pour tout entier n positif : xn = (xn)−1.


Voir aussi[modifier | modifier le code]

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