Fonction inverse

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Inverse (homonymie).
Page d'aide sur l'homonymie Cet article traite de la fonction qui à x associe 1/x. Pour les fonctions f⁻¹ telles que si y=f(x), alors x=f⁻¹(y), voir Bijection réciproque.
Représentation graphique de la fonction inverse entre 0 et 5.

En mathématiques, la fonction inverse est définie de la manière suivante :

f:\begin{cases}\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}^* \\x\mapsto f(x)=\displaystyle \dfrac{1}{x}.\end{cases}

Variations[modifier | modifier le code]

Cette fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ]–∞, 0[ des réels strictement négatifs, puis strictement décroissante sur l'intervalle ]0, +∞[ des réels strictement positifs, avec 0 comme "valeur interdite" (pôle). On prendra garde de ne pas dire que la fonction est strictement décroissante sur ℝ* car si a < 0 < b, on conserve l'inégalité 1/a < 0 < 1/b.

La fonction inverse ne s'annule pas et n'admet pas de maximum ou minimum sur tous les réels non nuls.

Elle a pour limite 0 en +∞ et en –∞. Cette fonction, et de manière générale les fonctions inverse des polynômes, permet donc de modéliser un certain nombre de comportements qui décroissent mais qui présentent une « borne inférieure » (les fonctions ne tendent pas vers –∞), comme la gravitation et la force électrostatique qui sont en 1/r2.

En 0, sa limite à gauche vaut –∞ et à droite, +∞.

Exemple : calcul d'image et d'antécédent[modifier | modifier le code]

Soit f(x)=\frac 1x la fonction inverse définie sur \mathbb{R}\backslash \{0\}. L'image d'une point par la fonction inverse se calcule en remplaçant x par ce point. Prenons par exemple l'image des points -3 et 2, on obtient :

f(-3)=\frac 1{-3}=-\frac 13

f(2)=\frac 1{2}.

Concernant le calcul d'antécédent d'une valeur non nulle a, il faut résoudre l'équation f(x)=a et déterminer l'inconnue x.

Remarque : l'image d'un point est unique contrairement aux antécédents. Dans le cas de la fonction inverse chaque point admet un unique antécédent.

Calculons par exemple l'antécédent des points -5 et \frac 12.

f(x)=-5 \text{ on remplace } \frac 1x = -5 \text{ on isole } x=-\frac 15,

f(x)=\frac 12 \text{ on remplace } \frac 1x = \frac 12 \text{ on isole } x=2.

Représentation graphique[modifier | modifier le code]

Representation fonction inverse.png

La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole.

L'hyperbole d'équation y=\frac{1}{x} admet deux asymptotes : une horizontale (l'axe des abscisses) et une verticale (l'axe des ordonnées). Ces deux asymptotes étant perpendiculaires, l'hyperbole est dite équilatère (son excentricité vaut \sqrt{2}).

À l'aide du graphique, il devient facile de repérer les deux types d'asymptotes présentes dans cette fonction:

  • une asymptote verticale, qui a pour équation : AV : \,x=0 ;
  • une asymptote horizontale, qui a pour équation : AH :\, y=0.

Observons graphiquement que l'hyperbole admet une symétrie centrale O. Autrement dit la fonction inverse est une fonction impaire, c'est-à-dire que si on note f la fonction inverse f(-x)=-f(x) sur tous les réels non nuls.

On remarque enfin que, dans un repère orthonormal, cette hyperbole possède un axe de symétrie D:y = x. En effet le point M(x ; y) appartient à (H) si et seulement si le point M'(y ; x) appartient à (H) .(y=1/x équivaut à x= 1/y). Cette propriété graphique permet de remarquer que la fonction inverse est une involution, c'est-à-dire une bijection qui est sa propre réciproque : f \circ f = Id_{\mathbb R^*}. Ou bien encore, pour tout réel x non nul, l'inverse de l'inverse de x est égal à x.

Dérivée de la fonction inverse[modifier | modifier le code]

La dérivée de la fonction inverse est la fonction f’ définie par :

f':\begin{cases}\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}^* \\x\mapsto \displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\end{cases}.

Illustration :

Representation tangent 11 fonction inverse.png

La dérivée de y = \dfrac{1}{x} au point d'abscisse 1 vaut -\dfrac {1}{1^2} = -1 donc la pente de la tangente à la courbe de la fonction inverse au point de coordonnées (1,1) vaut –1.

La fonction inverse est concave sur l'intervalle ]–∞, 0[ et convexe sur ]0, +∞[.

Primitives de la fonction inverse[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Logarithme naturel.

Le logarithme naturel, ou logarithme népérien, noté ln, est défini dans l'article détaillé comme la fonction de ]0,+∞[ dans ℝ dont la dérivée est la fonction inverse, et dont la valeur en 1 est 0. Les primitives sur ]0,+∞[ de la fonction inverse sont donc les fonctions de la forme x↦(lnx)+C, où C est une constante réelle arbitraire.

Fonction inverse abstraite[modifier | modifier le code]

On peut définir de manière générale une fonction inverse f dans un groupe (G,\times) par

\forall x \in G,\ f(x)=x^{-1}.

L'inverse permet donc d'étendre aux exposants entiers négatifs la notion de puissance d'un nombre (ou d'un élément d'un groupe) en posant, pour tout entier n positif : xn = (xn)−1.


Voir aussi[modifier | modifier le code]

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