Nombre hautement composé supérieur

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Un nombre hautement composé supérieur est un entier naturel non nul qui a plus de diviseurs que n'importe quel autre entier relativement à une puissance du nombre lui-même. Cette définition a été formulée par Srinivasa Ramanujan en 1915.

Il s'agit d'une condition plus restrictive que celle d'un nombre hautement composé défini comme un entier strictement positif qui a strictement plus de diviseurs que les nombres qui le précèdent.

Définition[modifier | modifier le code]

Un nombre est dit hautement composé supérieur, s'il existe un réel positif tel que :

  • pour tout entier naturel inférieur à  :
  • pour tout entier naturel strictement supérieur à  :

est la fonction "nombre de diviseurs" qui à tout entier naturel non nul associe le nombre de ses diviseurs.

Liste[modifier | modifier le code]

Les dix premiers nombres hautement composés supérieurs sont les suivants :

Nombre hautement composé supérieur

(suite A002201 de l'OEIS)

2 6 12 60 120 360 2520 5040 55 440 720 720
Nombre de diviseurs positifs 2 4 6 12 16 24 48 60 120 240
Décomposition en facteurs premiers 2 2 ⋅ 3 22 ⋅ 3 22 ⋅ 3 ⋅ 5 23 ⋅ 3 ⋅ 5 23 ⋅ 32 ⋅ 5 23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13
Décomposition en produit de primorielles 2 6 2 ⋅ 6 2 ⋅ 30 22 ⋅ 30 2 ⋅ 6 ⋅ 30 2 ⋅ 6 ⋅ 210 22 ⋅ 6 ⋅ 210 22 ⋅ 6 ⋅ 2310 22 ⋅ 6 ⋅ 30030

On remarque que les 15 premiers nombres hautement composés supérieurs c'est-à-dire 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200 et 6983776800 sont aussi les 15 premiers nombres colossalement abondants.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout nombre hautement composé supérieur est aussi un nombre hautement composé, la réciproque n'étant pas vraie.

Bases hautement composées supérieures[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres hautement composés supérieurs ont souvent été utilisés comme base de système de numération, du fait de leur important nombre de diviseurs par rapport à leur taille. On peut citer :

En outre 360 est le nombre de degrés dans un tour complet.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]