Somme des diviseurs

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En arithmétique, la somme des diviseurs d'un nombre entier strictement positif est l'entier obtenu en effectuant la somme de tous les diviseurs positifs de cet entier.

La fonction qui, à un entier, associe la somme de ses diviseurs est souvent notée[1] σ.

Ainsi σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12, σ(p) = p + 1 pour tout nombre premier p et σ(1) = 1.

Cette fonction intervient dans l'étude des nombres parfaits, amiables, déficients ou abondants, des nombres intouchables ou sublimes ou dans les suites aliquotes. Elle est aussi étudiée dans le cadre de l'hypothèse de Riemann.

C'est un exemple de fonction multiplicative.

On étudie aussi parfois la somme s(n) = σ(n) – n des diviseurs stricts[2] d'un entier n, c'est-à-dire de tous les diviseurs positifs de n strictement inférieurs à n.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Comme toutes les fonctions diviseur σa, la fonction σ = σ1 est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers m et n premiers entre eux, σ(mn) = σ(m)σ(n).
  • La somme des termes d'une suite géométrique permet de calculer la somme des diviseurs d'une puissance d'un nombre premier :(La fonction σ n'est donc pas complètement multiplicative.)
  • L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer la somme des diviseurs de n connaissant sa décomposition en facteurs premiers :
  • Au sens de la convolution de Dirichlet, on peut écrire . σ possède alors un inverse , qu'on peut calculer explicitement : est nul dès que admet un facteur cubique, et sinon en écrivant où les et les sont des nombres premiers deux à deux distincts, on a .

Loi d'Euler[modifier | modifier le code]

Leonhard Euler énonce en 1752[3] un résultat, qu'il appelle « Loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs », permettant de déterminer la somme des diviseurs de n à l'aide d'une formule de récurrence :

où 1, 2, 5, 7, 12, est la suite des nombres pentagonaux généralisés.

avec

loi qu'il démontre en 1754[4] à l'aide de l'écriture en série d'un produit infini :

Ordre moyen[modifier | modifier le code]

Un ordre moyen simple pour la fonction σ(n) est la fonction 2/6, puisqu'on a l'estimation

où le terme E(x) est un o(x2). Ici o, et plus bas O et Ω±, sont les symboles de Landau. Une bonne estimation de ce terme E(x) fournit une évaluation fine de la précision obtenue si l'on attribue à σ(n) l'ordre moyen 2/6. Les meilleures majoration et minoration connues de cette précision sont données respectivement par[5]

et par[6]

Somme des diviseurs et hypothèse de Riemann[modifier | modifier le code]

Comportement de la fonction sigma sur les 250 premiers entiers.

La fonction somme des diviseurs a été étudiée dans le contexte de l'hypothèse de Riemann.

T. H. Gronwall (en) a démontré en 1913[7] que γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Le critère de Robin (du mathématicien français Guy Robin, en 1984[8]) stipule que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si

pour tout n ≥ 5 041.

Cette inégalité a déjà été établie pour 70,26 % des entiers naturels[9]. (Les auteurs montrent que les entiers quadratfrei, de densité 6/π2, ainsi que les impairs, de densité 1/2, satisfont l'inégalité. Les impairs non quadratfrei étant de densité 0,5 – 4/π2, les entiers satisfaisant l'inégalité sont de densité au moins 2/π2 + 1/2 = 0,702642… .)

En 2001, Jeffrey Lagarias, en utilisant le critère de Robin, lie la somme des diviseurs à la série harmonique Hn et prouve[10] que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si pour tout entier n,

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « sigma(n) = sum of divisors of n. Also called sigma_1(n) » : suite A000203 de l'OEIS.
  2. Par exemple, n est premier si et seulement si s(n) = 1. Il est dit parfait si s(n) = n.
  3. (la) Leonhard Euler, Commentationes arithmeticae collectae, vol. I, Observatio de summis divisorum, p. 148.
  4. (la) Leonhard Euler, Commentationes arithmeticae collectae, vol. I, Demonstratio theorematis circa ordinem in summis divisorum observatum, p. 234.
  5. (de) A. Walfisz, Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie, Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, .
  6. Y.-F.S. Pétermann. An Ω-theorem for an error term related to the sum-of-divisors function. Mh. Math. 103, 145-157 (1987); addendum ibid. 105, 193-194 (1988).
  7. (en) Eric W. Weisstein, « Gronwall's Theorem », MathWorld.
  8. (en) Eric W. Weisstein, « Robin's Theorem », MathWorld.
  9. (en) YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol, Pieter Moree et Patrick Solé, « On Robin's criterion for the Riemann hypothesis », J. Théor. Nombres Bordeaux, vol. 19, no 2,‎ , p. 357-372.
  10. (en) Jeffrey C. Lagarias, « An Elementary Problem equivalent to the Riemann Hypothesis », Amer. Math. Monthly 109 (2002), no. 6, 534-543. En ligne sur arXiv:math/0008177.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

G. Halphén, « Sur diverses formules récurrentes concernant les diviseurs des nombres entiers », Bulletin de la S.M.F., vol. 6,‎ , p. 173-188 (lire en ligne)