Nombre amical

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En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, deux nombres entiers n et m sont dits amicaux ou aimables ou amiables si la somme des diviseurs de l'un coïncide avec la somme des diviseurs de l'autre et si ces deux sommes valent la somme des deux nombres.

Si l'on appelle \sigma (sigma) la fonction qui, à un entier associe la somme de ses diviseurs, cette propriété se traduit par :

\sigma(n) = \sigma(m) = n + m .

Exemples[modifier | modifier le code]

Par exemple 220 et 284 sont amicaux car :

  • \sigma(220)=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110+220=504
  • \sigma(284)=1+2+4+71+142+284=504

On peut aussi caractériser les nombres amicaux en remarquant que la somme des diviseurs de n strictement plus petits que n (ou diviseurs propres de n) vaut m et que la somme des diviseurs de m strictement plus petits que m (ou diviseurs propres de m) vaut n.

Si l'on appelle \sigma' la fonction qui a un entier associe la somme de ses diviseurs propres, cette propriété se traduit par \sigma'(n) = m et  \sigma'(m)=n. Ainsi, dans l'exemple précédent, on a

  • \sigma'(220)=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
  • \sigma'(284)=1+2+4+71+142=220

Naturellement, cela implique que si l'un des deux nombres est abondant, alors l'autre est déficient. Les nombres parfaits sont amicaux avec eux-mêmes.

Voici les paires de nombres amicaux de moins de six chiffres :

  • 220 et 284
  • 1184 et 1210
  • 2620 et 2924
  • 5020 et 5564
  • 6232 et 6368
  • 10 744 et 10 856
  • 12 285 et 14 595
  • 17 296 et 18 416
  • 63 020 et 76 084
  • 66 928 et 66 992
  • 67 095 et 71 145
  • 69 615 et 87 633
  • 79 750 et 88 730

Éléments historiques[modifier | modifier le code]

Les nombres amicaux ont une histoire liée depuis longtemps à la magie et à l'astrologie. Par exemple, certains commentateurs juifs de la Genèse pensaient que Jacob avait donné deux cents chèvres et vingt boucs, et autant de brebis et de béliers à son frère aîné Ésaü quand il commença à craindre que ce dernier le tue (Genèse 32:14) parce que 220 est un nombre amical[1].

Le philosophe Jamblique (ca. 250-330 A.D.) écrit que « les pythagoriciens connaissent ces nombres qu'ils appellent amicaux et leur associent certaines qualités sociales (comme 220 et 284) et Pythagore aurait parlé d'un ami qui « était un autre lui » comme le sont 220 et 284 ».

Quant à l'historien Ibn Khaldoun, il assure que les nombres amicaux 220 et 284 sont utilisés dans l'art des talismans pour favoriser les amitiés et les unions[2].

Il n'existe pas de formule ou méthode connue pour déterminer les nombres amicaux mais au fil des ans, certains types spéciaux ont été découverts. Thābit ibn Qurra (ca. 850 A.D.) note que :

Si n > 1 et si les trois nombres p, q et r suivants :

p = 3\times2^{n-1}-1\,\!,
q = 3\times2^n-1\,\!
r = 9\times2^{2n-1}-1\,\!

sont premiers, alors 2^npq\,\! et 2^nr\,\! sont amicaux.

Il faut cependant plusieurs siècles pour que cette formule produise les deuxième et troisième paires de nombres amicaux. La paire 17 296 - 18 416 (n=4) est signalée par le mathématicien Ibn al-Banna au XIVe siècle[2] puis redécouverte par Fermat annoncée dans une lettre à Mersenne en 1636. La paire 9 363 584 - 9 437 056 (n=7) est découverte par Muhammad Baqir Yazdi au XVIIe siècle et par Descartes qui écrivit à Mersenne en 1638 pour lui signaler la paire.

La paire (6232, 6368) est amicale, mais ne peut pas être déduite à partir de cette formule.

Euler ajouta quant à lui une liste de 61 nouveaux nombres amicaux, mais commit deux erreurs[2] qui furent découvertes en 1909 et 1914. En 1866 un jeune garçon de seize ans, Nicolo Paganini, découvrit la paire 1184-1210 qui avait été ignorée jusque là.

Des recherches par ordinateur ont permis de trouver toutes les paires de nombres amicaux de moins de 12 chiffres[2] ainsi que quelques autres encore plus grands pour en arriver à un total de 2 185 621 paires en 2003[2]. On n'a pas pu déterminer s'il existe un nombre infini de paires ni s'il existe une paire de nombres premiers entre eux. Si une telle paire existe, chacun des nombres doit comporter plus de 15 chiffres et leur produit doit être divisible par au moins 22 nombres premiers.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions]
  2. a, b, c, d et e Jean-Paul Delahaye, Les inattendus mathématiques : Art, casse-tête, paradoxes, superstitions, Belin,‎ 2004 [détail des éditions] (ISBN 2842450736), « Nombres amiables et suite aliquote »

Voir aussi[modifier | modifier le code]