Nombre étrange

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Un nombre étrange est, en mathématiques, un entier naturel n qui est abondant mais non semi-parfait : la somme de ses diviseurs propres (y compris 1 mais pas n) est plus grande que n mais aucune somme de certains de ses diviseurs n'est égale à n.

Le plus petit nombre étrange est 70. Ses diviseurs propres sont 1, 2, 5, 7, 10, 14 et 35. Leur somme vaut 74 mais aucune somme de certains de ses diviseurs ne donne 70.

Il existe une infinité de nombres étranges. Les huit plus petits sont[1] 70, 836, 4 030, 5 830, 7 192, 7 912, 9 272, 10 430. La suite des nombres étranges a une densité asymptotique positive[2].

En 2012, aucun nombre étrange impair n'a encore été découvert. S'il en existe, ils doivent être plus grands que 232 ≈ 4 × 109[3] et même 1,8 × 1019[1],[4].

Stanley Kravitz a démontré que si k est un entier strictement positif, si Q est un nombre premier et si R=\frac{2^kQ-(Q+1)}{(Q+1)-2^k} est aussi un nombre premier, alors l'entier n=2^{k-1}QR est un nombre étrange[5]. À l'aide de cette formule, il a trouvé le plus grand nombre étrange connu actuellement

n=2^{56}(2^{61}-1)153722867280912929\approx2\cdot10^{52}.

Références culturelles[modifier | modifier le code]

La neuvième piste de l'album Geogaddi par le groupe Boards of Canada porte le titre The Smallest Weird Number[6] (le plus petit nombre étrange), 70. Le label de musique détenu par le groupe s'appelle Music70 (en).

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Weird number » (voir la liste des auteurs).

  1. a et b (en) Suite A006037 de l'OEIS.
  2. (en) Stan Benkoski et Paul Erdős, « On Weird and Pseudoperfect Numbers », Mathematics of Computation, vol. 28, no 126,‎ , p. 617-623 (DOI 10.2307/2005938).
  3. (en) C. N. Friedman, « Sums of Divisors and Egyptian Fractions », Journal of Number Theory, vol. 44, no 3,‎ , p. 328-339 (DOI 10.1006/jnth.1993.1057). Le résultat est attribué à « M. Mossinghoff, université du Texas à Austin ».
  4. (en) « Odd Weird Search ».
  5. (en) Stanley Kravitz, « A search for large weird numbers », Journal of Recreational Mathematics, Baywood Publishing, vol. 9, no 2,‎ , p. 82-85.
  6. (en) « The Smallest Weird Number », sur bocpages.org/wiki.

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Weird Number », MathWorld