Effet papillon

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L' « effet papillon » est une expression qui résume une image concernant le phénomène fondamental de sensibilité aux conditions initiales en théorie du chaos. Elle est parfois exprimée à l'aide d'une question : « Un simple battement d'ailes d'un papillon peut-il déclencher une tornade à l'autre bout du monde ? ».

Une nouvelle de science-fiction fondatrice[modifier | modifier le code]

Dans sa nouvelle de science-fiction Un coup de tonnerre (A Sound of Thunder) publiée en 1952, l'écrivain Ray Bradbury expose la problématique du voyage dans le temps et montre, si de telles occasions se présentaient, quel serait l'impact sur l'avenir si des individus venus du futur altéraient un élément du passé, aussi petit qu'il soit. Dans la nouvelle, un voyageur du temps écrase un papillon au Jurassique et cette négligence entraîne des conséquences dramatiques 60 millions d'années plus tard.

La conférence essentielle[modifier | modifier le code]

Le battement d'ailes du papillon

En 1972, le météorologue Edward Lorenz fait une conférence à l'American Association for the Advancement of Science intitulée[1] : « Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas? », qui se traduit en français par :

« Prédictibilité : le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas ? ».

Lorenz explique[2] :

« De crainte que le seul fait de demander, suivant le titre de cet article, "un battement d'aile de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ?", fasse douter de mon sérieux, sans même parler d'une réponse affirmative, je mettrai cette question en perspective en avançant les deux propositions suivantes :

  • Si un seul battement d'ailes d'un papillon peut avoir pour effet le déclenchement d'une tornade, alors, il en va ainsi également de tous les battements précédents et subséquents de ses ailes, comme de ceux de millions d'autres papillons, pour ne pas mentionner les activités d'innombrables créatures plus puissantes, en particulier de notre propre espèce.
  • "Si le battement d'ailes d'un papillon peut déclencher une tornade, il peut aussi l'empêcher." Si le battement d'aile d'un papillon influe sur la formation d'une tornade, il ne va pas de soi que son battement d'ailes soit l'origine même de cette tornade et donc qu'il ait un quelconque pouvoir sur la création ou non de cette dernière.

Les travaux précurseurs[modifier | modifier le code]

Laplace[modifier | modifier le code]

Le mathématicien Pierre-Simon de Laplace exprimait le déterminisme en affirmant qu'un génie connaissant exactement la position et le mouvement de tous les objets, même infinitésimaux, de l'univers, avait accès à la connaissance du passé comme du futur de l'univers. Il notait que cette certitude nous était inaccessible et que seul un résultat probable pouvait être proposé[3]. Cette position n'est pas contredite par la théorie du chaos. Ce qu'affirme la théorie du chaos, c'est qu'une erreur très faible sur un paramètre peut avoir une influence importante sur la situation résultante à une date ultérieure.

Poincaré[modifier | modifier le code]

Un exemple exposé par Poincaré pour illustrer la notion de chaos.

Henri Poincaré travailla plus tard sur des phénomènes chaotiques, en particulier en réfléchissant à la stabilité du système solaire et au problème des trois corps[4]. C'est Poincaré qui, le premier, donna une définition d'origine. Avec deux sphères, la variation d'un dixième de degré dans l'angle de la source peut amener une divergence de 180° entre les deux faisceaux. Mais ses travaux n’eurent pas d’applications immédiates, faute de calculateurs électroniques avec lesquels effectuer plusieurs millions ou milliards d’itérations.

Von Neumann contre Wiener[modifier | modifier le code]

Les deux mathématiciens, l'un et l'autre au fait de la sensibilité extrême sur le long terme de petites variations initiales, en tiraient des conclusions opposées. Pour l’un, toute prédiction à moyen terme était de ce fait inexorablement vouée à l’échec. Pour l’autre, au contraire, tout n’était que question de moyens de calculs et lorsqu’on en aurait de suffisamment puissants, il serait possible de savoir exactement sur quelle petite cause agir pour éviter le grand effet.

Lorenz[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Système dynamique de Lorenz.

Edward Lorenz, lui, travaillait sur des problèmes similaires : des prévisions météorologiques grâce à des systèmes informatiques. D’après les lois déterministes - également dites prévisionnistes - créées par Galilée et développées par Isaac Newton selon lequel les conditions initiales permettraient de déterminer l’état futur d’un système grâce à la mise en place d’une nouvelle technique mathématique, le calcul différentiel alors en vigueur, toute action X aurait des conséquences Y prévisibles grâce à des formules mathématiques, pourvu que les fonctions lipschitziennes en cause fussent continûment dérivables (il n’était pas question par exemple de prévoir le mouvement d’un chat par ce moyen). Lorenz a incorporé, en 1963, le fait que des variations infimes entre deux situations initiales pouvaient conduire à des situations finales sans rapport entre elles.

Il affirma ainsi qu’il n’était pas envisageable de prévoir correctement les conditions météorologiques à très long terme (par exemple un an), parce qu’une incertitude de 1 sur 106 lors de la saisie des données de la situation initiale pouvait conduire à une prévision totalement erronée. Or :

  • d’une part, ces incertitudes sont inévitables,
  • et d’autre part, l’homme ne peut pas prendre en compte tous les éléments qui constituent son environnement, surtout lorsqu’il s’agit de variations infimes.

Conséquences de la théorie du chaos[modifier | modifier le code]

Le concept[modifier | modifier le code]

Dans l’exemple de Lorenz, un météorologue ne penserait pas forcément à prendre en compte les variations du courant d’air provoquées par le battement d’aile d’un papillon. Son idée de « non infaillibilité du système prévisionnel », théorisé sous la forme de « l’effet papillon », rappelle qu’il existe au moins une différence entre le déterminé et le déterminable.

Ainsi, un battement d’aile d’un papillon non pris en compte est peut-être celui qui entraînera de proche en proche une variation, évoluant comme l'exponentielle du temps écoulé, de conditions atmosphériques.

En réalité, la situation utilisée par la métaphore est sans doute mal choisie : des travaux récents ont montré que justement, l'effet papillon n'était pas applicable à la modélisation de l'atmosphère : un effet minime est "noyé" et oublié sans incidence pour la totalité[5].

Résultats de la théorie du chaos[modifier | modifier le code]

Avec Lorenz, les limites pratiques du modèle de Newton sont mieux perçues, et un nouveau concept de « déterminisme relatif » émerge. Le terme de « théorie du chaos » réapparaît et c’est au début des années 1970 que le monde connaît un engouement pour ce paradigme. On découvre alors deux résultats étonnants :

  • Le chaos possède une sorte de signature (voir Nombres de Feigenbaum).
  • Il peut conduire lui-même à des phénomènes stables. On parle alors d’émergence. On ne pourra en connaître le détail de réalisation, mais les états finaux peuvent être connus sans qu’on sache par quel chemin on y arrivera : c’est une généralisation de la notion d’attracteur déjà posée par Poincaré.

L'Institut de Santa Fe sera créé en 1984 pour tenter d’étudier les conditions par lesquelles, parfois, c’est l’ordre qui émerge du chaos - ce qui constitue très exactement le contraire d’un effet papillon.

Comment « voir » l’effet papillon[modifier | modifier le code]

Mandelbrot
Newton

Une bonne manière de « voir » l’effet papillon est de considérer une fractale. En effet, par son absence de frontières nettes quelle que soit l'échelle considérée, une fractale représente assez bien l'instabilité de comportement d’un système chaotique. Un moyen d'obtenir une fractale est d'ailleurs la vitesse de convergence d'une suite mathématique en fonction d’un certain paramètre. On visualise clairement le fait qu’une infime variation de ce paramètre modifie radicalement le comportement de la suite, ce qui produit donc des images infiniment irrégulières (cela revient à dire que l'on peut zoomer dessus autant qu’on veut, on observera toujours de nouvelles formes et des lignes non lisses). La première fractale représentée ici montre la vitesse d'évolution d’une suite en fonction de sa valeur initiale. La deuxième montre l’instabilité d’une méthode numérique de recherche de solutions d’équations. En effet, elle permet de visualiser vers quelle solution d'une équation converge une suite selon son point de départ.

Dans le domaine de la prévision météo, la modélisation des conditions atmosphériques locales correspond à un système dynamique de nature chaotique. La connaissance des conditions initiales, ainsi que leur représentation dans les simulations qu'utilisent les prévisionnistes, (modèles numériques), est forcément incomplète, d'où la « Limite du Chaos » qu'implique l'article de Lorenz. Elle se traduit en pratique par une « limite de prévisibilité », qui est d'un peu plus de 10 jours (on dit que l'atmosphère « oublie tout en 2 semaines »). Au cours des 2 dernières décennies, les progrès conjoints des observations, (par satellite ou in situ), et de la capacité de calcul ont permis de se rapprocher de cette limite, selon un rythme de « 1 jour de plus tous les 5 ans ».

On a supposé, à cause de son aspect chaotique, qu'une modification infime des conditions initiales par exemple le battement de l'aile d'un papillon pouvait modifier radicalement l'évolution météorologique voire créer un ouragan. Si le modèle chaotique s'applique bien et que la limite de prévisibilité existe vraiment, en revanche, les modèles numériques montrent qu'il n'est pas scientifique de prétendre qu'une petite modification peut créer un ouragan, car l'énergie dégagée par le papillon sera dissipée avant d'avoir pu produire un effet de grande amplitude.

La même limitation, résultant de la connaissance incomplète des conditions initiales, vaut aussi pour la prévision océanique, avec une limite qui est de quelques semaines, au lieu de quelques jours. (Voir par exemple Les modèles numériques)

Le phénomène perturbateur minime qui peut déclencher une avalanche, connu en montagne depuis quelques siècles, relève du même problème.

Extrapolations à partir de l'effet papillon[modifier | modifier le code]

L’effet papillon est utilisé comme métaphore de la vie quotidienne ou de l'histoire. Toutefois il faut se méfier du rapprochement entre ces problématiques.

En effet, une des Pensées de Blaise Pascal est souvent résumée par la phrase « Le nez de Cléopâtre, s’il eût été plus court, toute la face de la terre aurait changé [6]. »

On peut également citer la maxime de Benjamin Franklin :
« À cause du clou, le fer fut perdu.
À cause du fer, le cheval fut perdu.
À cause du cheval, le cavalier fut perdu.
À cause du cavalier, le message fut perdu.
À cause du message, la bataille fut perdue.
À cause de la bataille, la guerre fut perdue.
À cause de la guerre, la liberté fut perdue.
Tout cela pour un simple clou. »

Le livre Impostures Intellectuelles indique l'erreur qu'il y a à rapprocher ces réflexions de l'effet papillon. Dans le cas de l'effet papillon, la variation forte est due à une modification très faible en valeur relative d'une variable mathématique. Dans le cas de l'Histoire, l'imprévisibilité est due au fait qu'on ne sait pas du tout la mettre en équations. Il n'est donc même pas possible d'affirmer que les différences donnant intuitivement l'impression d'être insignifiantes (clou d'un fer à cheval) donnent lieu à une faible variation d'un argument numérique (d'ailleurs les variations invoquées dans de tels exemples risqueraient de se traduire par des variables booléennes, qui passeraient de la valeur 0 à la valeur 1). Il n'est pas possible de savoir, tant que l'Histoire n'aura pas été mise en équations (ce qui n'est pas forcément possible), si le système d'équations est effectivement chaotique. En tout cas, à ce point de nos connaissances, la théorie du chaos n'apporte pas plus d'informations supplémentaires sur ces phénomènes que celles qui se trouvaient déjà dans les proverbes.

Aspects culturels[modifier | modifier le code]

Films[modifier | modifier le code]

Plusieurs films utilisent l'effet papillon comme point important de l'intrigue, comme titre, ou les deux. On notera cependant la confusion entre la sensibilité aux conditions initiales (ce que Lorenz a décrit) et le fait qu'une cause infime peut avoir de grands effets.

Séries[modifier | modifier le code]

Bande dessinée[modifier | modifier le code]

Musique[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Marie-Noëlle Charles Ces petits hasards qui bouleversent la science, Papillon Rouge Editeur, 2012
  • Edward N. Lorenz ; Un battement d'aile de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ?, Alliage 22 (1993), 42-45. Traduction française du texte de la conférence de 1972, publié (en anglais) dans  : The essence of chaos, The Jessie and John Danz Lecture Series, University of Washington Press (1993). Ce livre contient une série de conférences de vulgarisation données à l'université de Washington (Seattle) en 1990.
  • Nicolas Witkowski : La chasse à l'effet papillon, Alliage 22 (1995), 46-53. Texte en ligne.
  • Peter Dizikes : L'effet papillon fait sa mue, Courrier international, n° 936, p 54, du 9 au 15 octobre 2008, traduction d'un article du Boston Globe.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Le titre n'est en fait pas de Lorenz, mais d'un autre météorologue, Philip Merilees, organisateur de la conférence; Lorenz l'a découvert trop tard pour pouvoir en changer. Cf. Nicolas Witkowski : La chasse à l'effet papillon, Alliage 22 (1995), 46-53.
  2. Edward N. Lorenz ; Un battement d'aile de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ?, Alliage 22 (1993), 42-45. Traduction française du texte de la conférence de 1972, publié (en anglais) dans  : The essence of chaos, The Jessie and John Danz Lecture Series, University of Washington Press (1993). Ce livre contient une série de conférences de vulgarisation données à l'université de Washington (Seattle) en 1990.
  3. Pierre-Simon Laplace, Essai philosophiques sur les probabilités, Courcier,‎ 1814 (lire en ligne), p. 2. : Laplace, Essai philosophique sur les probabilités : « Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'Univers à ceux du plus léger atome. Rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux. Mais l'ignorance des différentes causes à l'origine des événements et leurs complexités nous empêchent d'atteindre la même certitude dans la plupart des phénomènes. Ainsi il y a des choses qui sont incertaines pour nous, des choses qui sont plus ou moins probables, et nous cherchons à compenser notre impossibilité de les connaître en déterminant leurs différents degrés de vraisemblance. C'est ainsi que nous devons à la faiblesse de l'esprit humain l'une des plus délicates et des plus ingénieuses théories mathématiques, les probabilités. »
  4. Poincaré, Science et Méthode : « Une cause très petite, et qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la Nature et la situation de l'Univers à l'instant initial, nous pourrions prédire la situation de ce même Univers à l'instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation initiale qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. »
  5. Dossier Pour la Science, La modélisation informatique, exploration du réel, n°52, (juillet/septembre 2006)
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