Ensemble simplicial

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En mathématiques, un ensemble simplicial X est un objet de nature combinatoire intervenant en topologie. Il est la donnée :

  • d'une famille (Xn) d'ensembles, indexée par les entiers naturels, les éléments de Xn étant pensés comme des simplexes de dimension n et
  • pour toute application croissante
    f:\{0,\dots,m\}\rightarrow \{0,\dots,n\},
    d'une application
    X(f):X_n\rightarrow X_m,

le tout tel que

X(f\circ g)=X(g)\circ X(f).

Autrement dit : X est un foncteur contravariant, de la catégorie simpliciale Δ dans la catégorie Set des ensembles, ou encore un foncteur covariant de la catégorie opposée Δop dans Set.

Exemple[modifier | modifier le code]

À tout complexe simplicial abstrait (V, Σ) est associé naturellement l'ensemble simplicial X dont les n-simplexes sont les applications g de {0, … , n} dans V dont l'image appartient à Σ, avec X(f)(g) = gf.

Homologie[modifier | modifier le code]

Soit K un anneau commutatif. À tout ensemble E est associé un K-module libre K[E] de base E donc par fonctorialité, à tout ensemble simplicial X est associé un K-module simplicial M = K[X][1] : pour tout entier n, le module Mn est le K-module libre K[Xn] et (en notant[2] [n] l'ensemble totalement ordonné {0, 1, … , n}) pour toute application croissante f : [m] → [n], l'application linéaire M(f) : MnMm est l'application K[X(f)] : K[Xn] → K[Xm] induite par X(f) : XnXm.

Par ailleurs, à tout module simplicial M on associe naturellement un complexe de chaînes en posant, pour tout n : \partial_n=\sum_{i=0}^n(-1)^iM(\delta_i^n):M_n\rightarrow M_{n-1}, où δin : [n – 1] → [n] désigne la ie coface, c'est-à-dire l'injection croissante de [n – 1] dans [n] dont l'image ne contient pas i.

L'homologie simpliciale (à coefficients dans K) de l'ensemble simplicial X est par définition[1] l'homologie du complexe de chaînes associé au module simplicial K[X].

Elle ne dépend par construction que de la structure de module semi-simplicial déduite de K[X], donc de celle d'ensemble semi-simplicial (en) déduite de X, par oubli des dégénérescences.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) Jean-Louis Loday, Cyclic Homology, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. (de) » (no 301),‎ 1998 (1re éd. 1992), p. 457
  2. (en) Alain Connes, Noncommutative Geometry, Academic Press,‎ 1994 (ISBN 978-0-12-185860-5, lire en ligne), Chap. 3, Appendix A

(en) S. I. Gelfand et Yu. I. Manin, Methods of homological algebra, chap. 1

Articles connexes[modifier | modifier le code]