Foncteur

En mathématiques, le foncteur est la généralisation aux catégories de la notion de morphisme.

Définitions

Un foncteur (ou foncteur covariant) F : ${\mathcal {C}}$ → ${\mathcal {D}}$ d'une catégorie ${\mathcal {C}}$ dans une catégorie ${\mathcal {D}}$ est la donnée

• d'une fonction qui, à tout objet X de ${\mathcal {C}}$, associe un objet F(X) de ${\mathcal {D}}$,
• d'une fonction qui, à tout morphisme f : X → Y de ${\mathcal {C}}$, associe un morphisme F(f) : F(X) → F(Y) de ${\mathcal {D}}$,

qui

• respectent les identités : pour tout objet X de ${\mathcal {C}}$,$F(\mathrm {Id} _{X})=\mathrm {Id} _{F(X)},$
• respectent la composition : pour tous objets X, Y et Z et morphismes f : X → Y et g : Y → Z de ${\mathcal {C}}$,$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).$

En d'autres termes, un foncteur préserve les domaines et codomaines des morphismes, les flèches identités et la composition.

Un foncteur contravariant G d'une catégorie ${\mathcal {C}}$ dans une catégorie ${\mathcal {D}}$ est un foncteur covariant de la catégorie opposée ${\mathcal {C}}$^op (celle obtenue en inversant le sens des flèches dans ${\mathcal {C}}$) dans ${\mathcal {D}}$. À tout morphisme f : X → Y de ${\mathcal {C}}$, il associe donc un morphisme G(f) : G(Y) → G(X) de ${\mathcal {D}}$, et l'on a la « relation de compatibilité » G(g ∘ f) = G(f) ∘ G(g).

Exemples

• Le foncteur identité d'une catégorie ${\mathcal {C}}$, souvent noté 1_{${\mathcal {C}}$} ou id_{${\mathcal {C}}$} : ${\mathcal {C}}$ → ${\mathcal {C}}$, qui envoie chaque objet et morphisme de ${\mathcal {C}}$ sur lui-même.
• Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets :
  • le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie qui contient aussi les groupes non abéliens (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien). On a de même des foncteurs d'oubli de Grp dans la catégorie Mon des monoïdes et dans celle des H-espaces, et de Ab dans la catégorie des monoïdes commutatifs ;
  • le foncteur de Grp dans Set qui à un groupe associe son ensemble sous-jacent (on a « oublié » la structure de groupe).
• Pour tout objet X d'une catégorie ${\mathcal {C}}$ localement petite, les deux foncteurs Hom : ${\mathcal {C}}$ → Set : Y ↦ Hom (X, Y) (covariant) et Y ↦ Hom (Y, X) (contravariant).
• Le foncteur constant est le foncteur qui envoie tous les objets de la catégorie de départ sur le même objet de la catégorie d'arrivée et qui envoie chaque flèche de la catégorie de départ sur l'identité de l'objet image. C'est l'objet terminal de la catégorie des foncteurs.
• Entre deux monoïdes (qui sont des catégories à un seul objet), les foncteurs covariants sont simplement les morphismes de monoïdes.
• Un foncteur défini d'une catégorie produit ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$ vers une catégorie ${\mathcal {E}}$ est souvent appelé bifoncteur.

Propriétés de foncteurs

Foncteurs fidèles, pleins, pleinement fidèles

On dit qu'un foncteur F : ${\mathcal {C}}$ → ${\mathcal {D}}$ est :

• fidèle si deux morphismes f, g : X → Y dans ${\mathcal {C}}$ sont égaux dès que leurs images F(f), F(g) : F(X) → F(Y) dans ${\mathcal {D}}$ le sont ;
• plein si tout morphisme F(X) → F(Y) est égal à un F(f) ;
• pleinement fidèle s'il est à la fois fidèle et plein.

Exemples

• Un morphisme de monoïdes (cf. dernier exemple ci-dessus) est fidèle si et seulement s'il est injectif, et plein si et seulement s'il est surjectif.
• Les foncteurs d'oubli de Ab dans Grp et de Grp dans Mon sont pleinement fidèles.
• Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est fidèle (mais pas plein) ; plus généralement, si F est l'inclusion d'une sous-catégorie ${\mathcal {C}}$ dans une catégorie ${\mathcal {D}}$, alors il est fidèle.

Foncteurs conservatifs

Trivialement, tout foncteur F : ${\mathcal {C}}$ → ${\mathcal {D}}$ préserve les isomorphismes, c'est-à-dire que si f est un isomorphisme dans ${\mathcal {C}}$ alors F(f) est un isomorphisme dans ${\mathcal {D}}$.

Le foncteur F est dit conservatif si réciproquement, un morphisme f dans ${\mathcal {C}}$ est un isomorphisme dès que F(f) en est un dans ${\mathcal {D}}$.

Exemples

• Un morphisme F de monoïdes (cf. fin du § « Exemples » ci-dessus) est conservatif si et seulement si tout antécédent par F d'un élément inversible est inversible.
• Tout foncteur pleinement fidèle est conservatif.
• Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est conservatif.

Foncteurs adjoints

Soient ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$ deux catégories, F un foncteur de ${\mathcal {C}}$ dans ${\mathcal {D}}$ et G de ${\mathcal {D}}$ dans ${\mathcal {C}}$, tels que pour tout objet $X\in {\mathcal {C}}$ et $Y\in {\mathcal {D}}$ on ait une bijection, naturelle en X et Y,

${\rm {Hom}}_{D}\left(F\left(X\right),Y\right)\simeq {\rm {Hom}}_{C}\left(X,G\left(Y\right)\right).$

Alors F est dit adjoint à gauche de G, et G adjoint à droite de F.

Équivalence de catégories

Un foncteur F : ${\mathcal {C}}$ → ${\mathcal {D}}$ est appelé une équivalence de catégories s'il existe un foncteur G : ${\mathcal {D}}$ → ${\mathcal {C}}$ et un isomorphisme naturel de foncteurs entre G ∘ F (resp. F ∘ G) et l'identité sur ${\mathcal {C}}$ (resp. ${\mathcal {D}}$). L'équivalence de catégories est une notion plus générale que celle d'isomorphisme de catégories.

Remarques

• Les foncteurs sont parfois appelés morphismes pour la catégorie Cat des petites catégories.

Voir aussi

• Foncteur Hom
• Foncteur représentable