Antécédent (mathématiques)

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En mathématiques, étant donnés deux ensembles E, F et une application \ f : E \to F, on appelle antécédent (par f) d'un élément y de F tout élément dont l'image par f est y, c'est-à-dire tout élément x de E tel que \ f (x) = y.

Un antécédent est donc, par définition, un élément de l'image réciproque \ f^{-1}(\{y\}).

Exemples[modifier | modifier le code]

Si y > 0, y admet deux antécédents, qui sont \ \sqrt{y} et \ -\sqrt{y}
Si y = 0, y admet un seul antécédent, qui est 0
Si y < 0, y n'admet aucun antécédent
  • Soient E un ensemble et une application \ f : E \to \mathcal{P}(E), où \ \mathcal{P}(E) désigne l'ensemble des parties de E. On définit \ Y = \{x \in E\, /\, x \notin f(x)\} : Y est une partie de E, autrement dit un élément de l'ensemble \ \mathcal{P}(E).
Cet élément n'admet aucun antécédent par f. En effet, supposons qu'un tel antécédent \ x_0 \in E existe. On a donc \ f (x_0) = Y.
Deux cas sont possibles :
\ x_0 \in Y, ce qui veut dire (par définition de Y) que \ x_0 \notin f(x_0), ou \ x_0 \notin Y
\ x_0 \notin Y, ce qui veut dire (par définition de Y) que \ x_0 \in f(x_0), ou \ x_0 \in Y
Dans les deux cas, on aboutit à une contradiction, ce qui prouve par l'absurde que Y n'a pas d'antécédent (cf. l'argument de la diagonale de Cantor).

Image d'un ensemble par une application[modifier | modifier le code]

Soient une application \ f : E \to F et A un sous-ensemble de E. On appelle image de A par f l'ensemble des éléments de F qui admettent au moins un antécédent appartenant à A ; on la note \ f (A):

f (A) =\{f(x)\,/\, x\in A\}=\{y \in F\,/\, \exists\, x \in A, y = f(x)\}~.

En particulier, l'image de E par f, appelée image de f, est l'ensemble des éléments y de F qui admettent au moins un antécédent :

\operatorname{Im}(f)=f (E) =\{f(x)\,/\, x\in E\}=\{y \in F\,/\, \exists\, x \in E, y = f(x)\}~.

Injections, surjections, bijections[modifier | modifier le code]

Soit une application \ f : E \to F.

  • On dit que f est injective, ou que c'est une injection, si tout élément de F admet au plus un antécédent.
  • On dit que f est surjective, ou que c'est une surjection, si tout élément de F admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si
\ f (E) = F.
  • On dit que f est bijective, ou que c'est une bijection, si tout élément de F admet un antécédent et un seul, c'est-à-dire si f est à la fois injective et surjective.
Dans ce cas, on peut définir l'application \ f^{-1} : F \to E, y \mapsto x, où x est l'unique antécédent de y par f. C'est aussi une bijection, dite réciproque de f.

(L'exemple vu plus haut montre qu'il n'existe aucune application surjective \ f : E \to \mathcal{P}(E).)