Produit tensoriel

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, le produit tensoriel est un moyen commode de coder les objets multilinéaires. Il est utilisé en algèbre, en géométrie différentielle, en géométrie riemannienne, et en physique (mécanique des solides, relativité générale et mécanique quantique).

Produit tensoriel d'espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Théorème et définition. Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K. Il existe un espace vectoriel, noté  E\bigotimes F , et une application bilinéaire

\phi :E\times F   \rightarrow  E\bigotimes F  (on pose \phi(x,y)=x\otimes y)

ayant la propriété suivante (dite universelle) : pour tout espace vectoriel G, et pour toute application bilinéaire g de ExF dans G, il existe une et une seule application linéaire \tilde g de  E\bigotimes F dans G telle que

 g = \tilde g\circ\phi ou encore \forall x\in E,y\in F, g(x,y)=\tilde g(x\otimes y)

De plus, cet espace est unique (à isomorphisme près).

L'espace E\bigotimes F est le produit tensoriel de E et F, et x\otimes y est le produit tensoriel de x et y.

Si (e_i)_{i\in I} et (f_j)_{j\in J} sont respectivement des bases de E et F, alors (e_i\otimes f_j)_{(i,j)\in I\times J} est une base de E\bigotimes F. En particulier, si E et F sont de dimension finie,

\mathrm{dim}(E\bigotimes F)=\mathrm{dim}(E)\times \mathrm{dim}(F)

Techniquement, le théorème d'existence et d'unicité est un garde-fou qui permet de se contenter du point de vue des bases.

Produit tensoriel multiple[modifier | modifier le code]

On peut réitérer l'opération. Le produit tensoriel est associatif : il existe un isomorphisme naturel (c'est-à-dire ne dépendant pas du choix de bases) entre  (E\bigotimes F)\bigotimes G et  E\bigotimes( F\bigotimes G). Cet isomorphisme envoie  (x\otimes y)\otimes z sur  x\otimes( y\otimes z). De même, les espaces  E\bigotimes F et  F\bigotimes E sont isomorphes. Mais attention : si E=F, l'application bilinéaire

\otimes : E\times E \rightarrow E\bigotimes E

n'est pas symétrique. Sauf si x et y sont colinéaires, x\otimes y\not=y\otimes x

Une situation très fréquente, notamment en géométrie différentielle, est celle où l'on considère des produits tensoriels d'un certain nombre d'exemplaires de E et de son dual. On dit qu'un élément de E^{\otimes p}\bigotimes E^{\ast \otimes q} est un tenseur p-contravariant et q-covariant, ou plus brièvement un tenseur de type (p,q). L'espace E^{\otimes p}\bigotimes E^{\ast \otimes q} est aussi noté \bigotimes^{p,q}E[1]

Attention. Les géomètres appelent "covariant" ce que les algébristes appellent "contravariant" et vice-versa. Heureusement, tout le monde est d'accord sur l'appellation type (p,q).

Produit tensoriel d'applications linéaires[modifier | modifier le code]

Soient E, E^\prime, F, F^\prime des espaces vectoriels, f\in\mathcal{L}(E,E^\prime) et g\in\mathcal{L}(F,F^\prime) des applications linéaires. En appliquant la propriété universelle à l'application bilinéaire


(x,y)\mapsto f(x)\otimes g(y) de  E\times F dans  E^\prime\bigotimes F^\prime ,

on voit qu'il existe une unique application linéaire

f\otimes g :  E\bigotimes F \rightarrow  E^\prime\bigotimes F^\prime telle que (f\otimes g)(x\otimes y) =  f(x)\otimes g(y)

.

C'est par définition le produit tensoriel de f et g.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les exemples ci-dessous emploient la convention de sommation d'Einstein.

Avec cette convention, on n'écrit pas les sommations qui deviennent très vite lourdes à manipuler. On somme les indices répétés deux fois de la quantité appropriée.

Deux exemples fondamentaux[modifier | modifier le code]

Tenseurs covariants d'ordre 1[modifier | modifier le code]

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif K. Le produit tensoriel des formes linéaires


\alpha\in E^\ast \quad \mathrm{et}\quad \beta\in F^\ast

est la forme bilinéaire sur ExF donnée par


(x,y)\mapsto \alpha(x)\beta(y)

(Rappelons que l'espace vectoriel \mathcal{L}_2(E\times F,K) s'identifie à E^\ast \bigotimes F^\ast). En coordonnées, si \alpha =(\alpha_i) et \beta =(\beta_j), alors


(\alpha\otimes\beta)_{ij}=\alpha_i\beta_j

Cas d'un tenseur covariant et d'un tenseur contravariant, tous deux d'ordre 1[modifier | modifier le code]

Soit maintenant \alpha une forme linéaire sur E et v un vecteur de F. Leur produit tensoriel s'identifie à l'application linéaire de E dans F donnée par


x\mapsto \alpha(x)v

En coordonnées, si \alpha =(\alpha_i) et v=(v^j), la matrice de cette application linéaire est (\alpha_iv^j)

Cela montre au passage que \mathcal{L}(E,F) s'identifie à E^\ast\bigotimes F, les éléments décomposés de E^\ast\bigotimes F correspondant aux applications linéaires de rang 1 de \mathcal{L}(E,F).

Extension du corps de base[modifier | modifier le code]

Soit K un corps commutatif et  k\subset K un sous-corps de K. A partir de tout espace vectoriel E sur k, on peut construire un espace vectoriel \tilde E sur K en posant

\tilde E =E\bigotimes_k K

où le k en indice indique qu'il s'agit d'un produit tensoriel d'espaces vectoriels sur k. Un exemple important est celui où  k=\mathbb{R} et  K=\mathbb{C}. On dit alors que \tilde E est le complexifié de E.

Produit tensoriel de deux tenseurs covariants d'ordres respectifs p et q[modifier | modifier le code]

Soient S\in\bigotimes^pE^\ast et T\in\bigotimes^qE^\ast. Alors S\otimes T est la forme p+q-linéaire sur E^{p+q} définie par


(S\otimes T)(x_1,\cdots, x_p,x_{p+1},\cdots ,x_{p+q})=S(x_1,\cdots ,x_p)T(x_{p+1},\cdots,x_{p+q}).

En coordonnées,


(S\otimes T)_{i_1i_2\cdots i_pj_1\cdots j_q}=S_{i_1\cdots i_p}T_{j_1\cdots j_q}

Produit tensoriel de deux tenseurs contravariants d'ordre 1[modifier | modifier le code]

Il s'agit donc ici de vecteurs. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, et de dimensions respectives p et q, muni de bases respectives (e_i)_{1\le i\le p} et (f_j)_{1\le j\le q}. Si (avec la convention d'Einstein) v= v^ie_i et w=w^jf_j, alors


v\otimes w= v^iw^je_i\otimes f_j

Autrement dit, E\bigotimes F est un espace vectoriel de dimension pq dont une base est engendrée par les produits tensoriels deux à deux des vecteurs de base de E et F. En fait, l'espace E\bigotimes F et le produit v\otimes w ne dépendent pas du choix de ces bases. On peut le vérifier directement ou invoquer la définition intrinséque du produit tensoriel.

Produit tensoriel contracté[modifier | modifier le code]

Contraction[modifier | modifier le code]

On peut envoyer  \bigotimes^{p,q}E dans \bigotimes^{p-1,q-1}E de la façon suivante :

à  v_1\otimes v_2 \cdots \otimes v_p\otimes \alpha_1\otimes\alpha_2\cdots   \otimes \alpha_q on associe \alpha_1(v_1)v_2\otimes \cdot\alpha_2\otimes \cdots \alpha_q (rappelons que les v_i sont des vecteurs et les \alpha_i des formes linéaires). Cette application, définie au départ sur les éléments décomposés de  \bigotimes^{p,q}E (c'est-à-dire s'écrivant comme produits tensoriels d'éléments de E et de son dual), se prolonge à l'espace tout entier.

En coordonnées (à conditions de prendre sur E^\ast la base duale de la base choisie pour E), cette application s'écrit


t^{i_1i_2\cdots i_p}_{j_1j_2\cdots j_q}\mapsto 
t^{ii_2\cdots i_p}_{ij_2\cdots j_q}

On a utilisé bien sûr la convention d'Einstein. Ici on a contracté le premier indice contravariant et le premier indice covariant. On peut faire cette opération avec d'autres indices : il y a pq contractions de  \bigotimes^{p,q}E dans \bigotimes^{p-1,q-1}E


Un produit tensoriel contracté est un produit tensoriel suivi d'une ou plusieurs contractions. Il peut se voir comme une généralisation du produit de matrices.


Application aux changements d'indice[modifier | modifier le code]

Soit g=g_{ij} une forme blinéaire non dégénérée. C'est un tenseur de type (0,2). La forme duale g^\ast= g^{ij} est un tenseur de type (2,0). Le produits contracté de g (resp. g^\ast) par un tenseur de type (p,q) est un tenseur de type (p-1,q+1) (resp. de type (p+1,q-1).

En fait, grâce à l'hypothèse de non dégénérescence, le produit contracté par g est un isomorphisme de \bigotimes^{p,q}E sur \bigotimes^{p-1,q+1}E dont l'isomorphisme inverse est le produit contracté par g^\ast. Certains auteurs[2] appelent ces isomorphismes isomorphismes musicaux et les notent avec des bémols ou des dièzes suivant qu'ils font descendre ou monter les indices. Ils sont très utilisés en géométrie riemannienne ou pseudo-riemannienne.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Pour p=q=1 l'application de  E\bigotimes E^\ast dans K

n'est autre que la trace, si on utilise l'identification naturelle entre  E\bigotimes E^\ast et \mathcal{L}(E,E).

Il aurait donc a priori trois contractions possibles. Mais en raison de ses propriétés de symétrie, la contraction avec le troisième indice covariant donne 0, tandis que le premier et le deuxième donnent des résultats opposés. La courbure de Ricci est l'une de ces contractions (les conventions peuvent varier). En coordonnées


\mathrm{Ric}_{kl} = R^i_{kil}

.

De façon intrinsèque, \mathrm{Ric}(X,Y) est la trace de l'opérateur linéaire  Z\mapsto R(X,Z)Y.

en contractant l'indice de dérivation et un autre indice (le plus souvent on travaille avec des tenseurs symétriques ou anti-symétriques, il n'y a alors au signe près qu'une divergence possible). Explicitement, la divergence d'un tenseur T de type (0,p+1) est le tenseur de type (0,p) donné par


(\mathrm{div}T)_{i_1\dots i_p}= g^{jk}\nabla_jT_{ki_1\dots i_p}

S_{ij} = C_{ijkl}e_{kl}

Ici C le tenseur d'élasticité (symétrique d'ordre 4), e le tenseur des contraintes et S le tenseur des déformations (tous deux symétriques d'ordre 2)[3] (en physique classique, on travaille dans des repères orthonormaux, ce qui permet de ne pas respecter les conventions d'indices, puisque l'on peut identifier tous les types de tenseurs de même ordre).

Généralisations[modifier | modifier le code]

Le produit tensoriel peut se définir

  • dans le cas où le corps de base est non commutatif. Mais alors E\bigotimes F sera seulement un groupe abélien.
  • pour les modules sur un anneau.
  • pour les fibrés vectoriels (à l'instar de toute opération "naturelle" sur les espaces vectoriels[4])
  • pour les espaces vectoriels topologiques (c'est cette généralisation qui a rendu Alexandre Grothendieck célèbre[5])

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Bourbaki, Livre II (Algèbre), ch.2, &3 et 4, Masson.
  • R. Godement, Cours d'Algèbre, section 21, Hermann
  • S. Lang, Algebra, ch. 16

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. M. Berger, A Panormaic View of Riemannian Geometry, p.796, Springer, ISBN 3-540-65317-1
  2. S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Springer Universitext 2005
  3. R. Feynman, Cours de Physique, Electromagnétisme, 39-2
  4. W. Hirsch, Differential topology, Springer
  5. archive.numdam.org/article/SB_1951-1954__2__193_0.pdf SÉMINAIRE N. BOURBAKI. A. GROTHENDIECK. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. Séminaire N. Bourbaki, 1951-1954, exp. no 69

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]