Algèbre graduée

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En mathématiques, en algèbre linéaire, on appelle algèbre graduée une algèbre dotée d'une structure supplémentaire, appelée graduation.

Définition

Soit A une algèbre sur un corps (ou plus généralement une algèbre sur un anneau). Une graduation sur A est la donnée d’une famille de sous-espaces vectoriels $(A_i)_{i\in\N}$ de A vérifiant :

• $A = \bigoplus_{i\in\N}A_i$
• $\forall i,j\in\N,\;A_iA_j\subset A_{i+j}$.

L’algèbre A est alors dite graduée (parfois $\N$-graduée).

Les éléments de $A_i$ sont dits homogènes de degré i. Un idéal est dit homogène si, pour chaque élément a qu'il contient, il contient également les parties homogènes de a. Cela revient à dire que I est engendré par des éléments homogènes.

Tout anneau (non gradué) A peut être doté d'une graduation en posant A₀ = A, et A_i = 0 pour tout i > 0. Cette structure est appelée graduation triviale de A.

Une application f entre des algèbres graduées A et B (sur le même corps) est un homomorphisme d'algèbres graduées s'il existe un entier strictement positif d tel que $f(A_i)\subseteq B_{di}$ pour tout i.

Exemples

• Les anneaux de polynômes en plusieurs indéterminées $A[X_1,X_2,...]$, pour lesquels les éléments homogènes (de degré k) sont des combinaisons linéaires de monômes $X_1^{n_1} X_2^{n_2}...$ de même degré total k=n_1+n_2+....
• L'algèbre tensorielle T(V) sur un espace vectoriel V, où les éléments homogènes de degré n sont les tenseurs de la forme $v_1\otimes v_2\otimes\dots\otimes v_n$.
• L'algèbre symétrique (en) S(V) et l'algèbre extérieure $\Lambda(V)$ sont des algèbres graduées, les éléments homogènes de degré n étant les images des éléments homogènes de T(V). Plus généralement, si un idéal I d'une algèbre graduée A est homogène, le quotient $A/I$ est naturellement gradué par $(A/I)_i=A_i/(I\cap A_i)$.