Bivecteur

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En algèbre, le terme de bivecteur désigne un tenseur antisymétrique d'ordre 2, c'est-à-dire une quantité X pouvant s'écrire

{\mathbf{X}} = X_{ab} {\mathbf{\omega}}^a \wedge {\mathbf{\omega}}^b ,

où les quantités ωa sont des formes linéaires et le signe \wedge désigne le produit extérieur.

Un bivecteur peut être vu comme une application linéaire agissant sur les vecteurs et les transformant en formes linéaires. Les coefficients Xab peuvent être vus comme formant une matrice antisymétrique.

Les bivecteurs sont abondamment utilisées en relativité générale, où plusieurs tenseurs peuvent être reliés à des bivecteurs. En particulier, le tenseur électromagnétique est un bivecteur, et le tenseur de Weyl peut être vu comme une application agissant sur les bivecteurs. Ce fait est d'ailleurs à l'orginie d'une classification des différents espaces en fonction des caractéristiques que présentent leur tenseur de Weyl dans ce contexte : il s'agit de la classification de Petrov.

Définitions variées[modifier | modifier le code]

Bivecteur simple[modifier | modifier le code]

Un bivecteur X est dit simple s'il peut s'exprimer sous la forme du produit extérieur de deux formes linéaires u et v, c'est-à-dire si l'on a

{\mathbf{X}} = {\mathbf{u}} \wedge {\mathbf{v}},

ou bien, en termes de composantes,

X_{ab} = \frac{1}{2} \left(u_a v_b - v_a u_b\right).

Dans le cas d'une forme simple, la quantité X_{ab}X^{ab} est dite de genre temps, de genre espace ou de genre lumière selon sa valeur (respectivement positive, négative et nulle dans le cas où la convention de signe de la métrique est (-+++) et respectivement négative, positive et nulle dans le cas de la convention inverse (+---)).

Bivecteur dual[modifier | modifier le code]

Dans un espace à quatre dimensions sur lequel est défini une métrique riemannienne, on peut utiliser le tenseur de Levi-Civita pour associer un bivecteur {\mathbf{X}} à son bivecteur dual, noté \tilde{\mathbf{X}}[1], selon la formule

\tilde X_{ab} = \frac{1}{2} \epsilon_{abcd} X^{cd}.

Le dual d'un bivecteur dual correspond au signe près au vecteur d'origine :

\left(\tilde X_{ab}\right){}\tilde{} = - X_{ab}.

Deux bivecteurs X et Y satisfont à l'aide de leurs bivecteurs duaux quelques propriétés comme

X_{ab} \tilde Y^{ab} = \tilde X_{ab} Y^{ab},
X_{ac} Y_b{}^c - \tilde X_{bc} \tilde Y_a^c = \frac{1}{2} g_{ab} X_{cd} Y^{cd}

Bivecteur autodual[modifier | modifier le code]

Un bivecteur complexe est dit autodual s'il satisfait à

\tilde {\mathbf{X}} = - i {\mathbf{X}}.

Tout bivecteur X peut se voir associer un bivecteur autodual X* en le combinant avec son dual, selon la formule

{\mathbf{X}}^* = {\mathbf{X}} + i \tilde {\mathbf{X}}.

Vecteur tridimensionnel complexe associé à un bivecteur[modifier | modifier le code]

La signification physique d'un bivecteur autodual apparaît en remarquant que les six composantes indépendantes d'un bivecteur réel peuvent être transformées en un vecteur tridimensionnel complexe. Il suffit pour cela de choisir un vecteur de genre temps, u et de définir la quantité Xa par

X_a =  X^*_{ab} u^b.

Un calcul simple permet immédiatement de reconstituer le bivecteur original, par

X_{ab}^* = 2 u_{[a} X_{b]} + i \epsilon_{abcd} u^c X^d = 2 \left(u_{[a} X_{b]} \right)^*.

Un exemple : le tenseur électromagnétique[modifier | modifier le code]

Le tenseur électromagnétique est un tenseur antisymétrique d'ordre 2. C'est donc un bivecteur. Le vecteur X calculé par la méthode ci-dessus donne

X^j = E^j - i c B^j.

Référence[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

  1. Dans de nombreuses références, le dual, au sens de dualité de Hodge est noté avec une astérisque et non un « ~ ». Cependant, dans le cas des bivecteurs, l'astérisque est réservée à bivecteur autodual. Ainsi, la quantité notée F* dans l'article tenseur électromagnétique correspond-elle à la quantité \tilde F.