Groupe symétrique

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En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même. Un sous-groupe du groupe symétrique de E est appelé un groupe de permutations (en) (de E).

Définition[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble. On appelle groupe symétrique de E l'ensemble des applications bijectives de E sur E muni de la composition d'applications (la loi ∘). On le note S(E) ou \scriptstyle\mathfrak{S}(E) (ce caractère est un S gothique).

Un cas particulier courant est le cas où E est l'ensemble fini {1, 2, … , n}, n étant un entier naturel ; on note alors \scriptstyle\mathfrak{S}_n ou Sn[1] le groupe symétrique de cet ensemble. Les éléments de \scriptstyle\mathfrak{S}_n sont appelés permutations et \scriptstyle\mathfrak{S}_n est appelé groupe des permutations de degré n ou groupe symétrique d'indice n.

Si deux ensembles sont équipotents alors leurs groupes symétriques sont isomorphes. En effet, si f est une bijection de E dans F, alors l'application de S(E) dans S(F) qui à σ associe f∘σ∘f−1 est un isomorphisme. En particulier si E est un ensemble fini à n éléments, alors \scriptstyle\mathfrak{S}(E) est isomorphe à \scriptstyle\mathfrak{S}_n. En conséquence, il suffit de connaître les propriétés du groupe \scriptstyle\mathfrak{S}_n pour en déduire celles du groupe \scriptstyle\mathfrak{S}(E). C'est pourquoi la suite de cet article ne portera que sur \scriptstyle\mathfrak{S}_n.

Origine et importance[modifier | modifier le code]

Historiquement, l'étude du groupe des permutations des racines d'un polynôme par Évariste Galois est à l'origine du concept de groupe.

Un théorème de Cayley assure que tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe symétrique.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le groupe \scriptstyle\mathfrak{S}_n est d'ordre n!.

Cette propriété peut être prouvée en dénombrant les permutations. Il est également possible de faire une démonstration par récurrence, en donnant ainsi un lien entre les groupes symétriques de degrés n – 1 et n.

Le groupe symétrique est isomorphe au groupe formé par les matrices de permutation muni de la loi produit : ce sont les matrices ayant un unique coefficient 1 dans chaque ligne et chaque colonne, tous les autres étant nuls.

Générateurs du groupe symétrique[modifier | modifier le code]

Une transposition est un 2-cycle, c'est-à-dire une permutation qui échange deux éléments et laisse les autres inchangés. On note (i, j) la transposition qui échange l'élément i avec l'élément j.

Il existe un algorithme permettant de décomposer une permutation en produit de transpositions. Ainsi l'ensemble des transpositions forme un système de générateurs de \scriptstyle{\mathfrak S}_n

Il est possible de se limiter aux transpositions de la forme τi = (i, i + 1) puisque, pour i < j, il est possible de décomposer (i,j)=(i,i+1)(i+1,i+2)\dots (j-2,j-1)(j-1,j)(j-2,j-1)\dots (i+1,i+2)(i,i+1).

Ces générateurs permettent de donner une présentation du groupe symétrique, avec les relations

  • {\tau_i}^2 = 1,
  • \tau_i\tau_j = \tau_j\tau_i \qquad \mbox{si  }  |j-i| > 1,
  • {(\tau_i\tau_{i+1}})^3=1.

Il s'agit donc d'un cas particulier de groupe de Coxeter.

Il est possible également de prendre pour système de générateurs les n – 1 transpositions de la forme (1, i) pour i > 1. Enfin on peut se contenter de deux générateurs : la transposition (1, 2) et le cycle (1, 2, … , n).

Signature[modifier | modifier le code]

On suppose dans cette section que l'entier n est supérieur ou égal à 2.

Article détaillé : Signature d'une permutation.

Toute permutation se décompose en un produit de transpositions. Ce produit n'est pas unique, mais la parité du nombre de termes d'un tel produit ne dépend que de la permutation. On parle alors de permutation paire ou impaire.

La signature d'une permutation σ est l'application notée sgn ou ε et définie par :

\operatorname{sgn}(\sigma)=\varepsilon(\sigma)=\left\{\begin{array}{cl} +1 & \mbox{si } \sigma \mbox{ est paire } \\ -1 & \mbox{si } \sigma \mbox{ est impaire } \end{array}\right.

Avec cette définition, la signature est un morphisme de groupes de \scriptstyle(\mathfrak S_n,\circ) dans ({–1, 1}, ×). Le noyau de ce morphisme, c’est-à-dire l'ensemble des permutations paires, est appelé le groupe alterné de degré n, noté \scriptstyle\mathfrak{A}_n (ce caractère est un A gothique). \scriptstyle\mathfrak{A}_n est donc un sous-groupe normal de \scriptstyle\mathfrak{S}_n et le groupe quotient \scriptstyle\mathfrak S_n/\mathfrak A_n est isomorphe à l'image {–1, 1} du morphisme signature. Par conséquent, \scriptstyle\mathfrak A_n est d'indice 2 dans \scriptstyle\mathfrak S_n, donc d'ordre n!/2. (Ou plus concrètement : \scriptstyle\mathfrak{A}_n et son complémentaire dans \scriptstyle\mathfrak{S}_n sont de même cardinal car pour t transposition de \scriptstyle\mathfrak{S}_n, l'application σ ↦ t∘σ est une bijection de \scriptstyle\mathfrak{A}_n dans son complémentaire.)

De plus, la suite exacte courte

1\to\mathfrak A_n\to\mathfrak S_n\to\{-1,1\}\to 1

est scindée à droite, donc \scriptstyle\mathfrak S_n est un produit semi-direct de \scriptstyle\mathfrak A_n par le groupe cyclique à deux éléments.

Classes de conjugaison[modifier | modifier le code]

Si σ est une permutation, sa classe de conjugaison est l'ensemble des conjuguées de σ C(\sigma)=\{\tau \circ \sigma\circ \tau^{-1}, \tau \in {\mathfrak S}_n\}. Les conjuguées de σ sont les permutations dont la décomposition en produit de cycles à supports disjoints a la même structure que celle de σ : même nombre de cycles de chaque longueur.

Ainsi, si on considère dans \scriptstyle{\mathfrak S}_5 les différentes classes de conjugaison, on trouve celle de l'identité, des transpositions (ab), les permutations composées de deux transpositions de supports disjoints (ab)(cd), les cycles d'ordre 3 (abc), les permutations composées d'un cycle d'ordre 3 et d'un d'ordre 2 : (abc)(de), puis les cycles d'ordres 4 : (abcd) et 5 : (abcde).

Les permutations (1,2,3)(4,5) et (1,3,4)(2,5) sont dans la même classe de conjugaison et la permutation (1,3)(2,5) non.

Le nombre de classes de conjugaisons est donc égal au nombre de « partages » de l'entier n, et si la décomposition d'une permutation contient k1 1-cycles, … , km m-cycles, alors le nombre de ses conjuguées vaut[2] :

\frac{n!}{1^{k_1}k_1!\ldots m^{k_m}k_m!}.

(On voit apparaître un coefficient multinomial.)

Propriétés issues de l'étude du groupe alterné[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe alterné.

Le résultat fondamental dans l'étude du groupe alterné \scriptstyle{\mathfrak A}_n est que celui-ci est un groupe simple pour n différent de 4.

Il en résulte notamment que le groupe dérivé de \scriptstyle{\mathfrak S}_n est \scriptstyle{\mathfrak A}_n. Pour n ≥ 5, c'est là le seul sous-groupe distingué propre de \scriptstyle{\mathfrak S}_n.

\scriptstyle\mathfrak S_n est résoluble si et seulement si n ≤ 4, ce qui a d'importantes conséquences sur la résolubilité par radicaux des équations polynomiales.

Propriétés diverses[modifier | modifier le code]

  • \scriptstyle\mathfrak{S}_6 est le seul groupe symétrique dont le groupe d'automorphismes extérieurs est non trivial.
  • Tout sous-groupe d'indice n de \scriptstyle\mathfrak{S}_n est isomorphe à \scriptstyle\mathfrak{S}_{n-1}. Si n est différent de 6, un tel sous-groupe est forcément le stabilisateur d'un élément de {1, … , n}.
  • Par ailleurs, \scriptstyle\mathfrak{S}_6 possède un sous-groupe d'indice 6 qui n'est pas le stabilisateur d'un point.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. R. Goblot, Algèbre linéaire, Paris, 2005, p. 58, utilise la notation Sn. Les auteurs anglo-saxons écrivent en général SE plutôt que \scriptstyle\mathfrak{S}(E) et Sn plutôt que \scriptstyle\mathfrak{S}_n.
  2. (en) William Fulton et Joe Harris, Representation Theory : A First Course [détail des éditions], p. 55