« Échelle de Möbius » : différence entre les versions

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Two views of the Möbius ladder M16. For an animation showing the transformation between the two views, see this file.

In graph theory, the Möbius ladder Mn is a cubic circulant graph with an even number n of vertices, formed from an n-cycle by adding edges (called "rungs") connecting opposite pairs of vertices in the cycle. It is so-named because (with the exception of M6 = K3,3) Mn has exactly n/2 4-cycles (McSorley 1998) which link together by their shared edges to form a topological Möbius strip. Möbius ladders were named and first studied by Guy and Harary (1967).

Properties

Every Möbius ladder is a nonplanar apex graph. Möbius ladders have crossing number one, and can be embedded without crossings on a torus or projective plane. Thus, they are examples of toroidal graphs. Li (2005) explores embeddings of these graphs onto higher genus surfaces.

Möbius ladders are vertex-transitive but (again with the exception of M6) not edge-transitive: each edge from the cycle from which the ladder is formed belongs to a single 4-cycle, while each rung belongs to two such cycles.

When n ≡ 2 (mod 4), Mn is bipartite. When n ≡ 0 (mod 4), by Brooks' theorem Mn has chromatic number 3. De Mier and Noy (2005) show that the Möbius ladders are uniquely determined by their chromatic polynomials.

The Möbius ladder M8 has 392 spanning trees; it and M6 have the most spanning trees among all cubic graphs with the same number of vertices (Jakobson and Rivin 1999; Valdes 1991). However, the 10-vertex cubic graph with the most spanning trees is the Petersen graph, which is not a Möbius ladder.

Graph minors

The Wagner graph M8

Möbius ladders play an important role in the theory of graph minors. The earliest result of this type is a 1937 theorem of Klaus Wagner that graphs with no K5 minor can be formed by using clique-sum operations to combine planar graphs and the Möbius ladder M8; for this reason M8 is called the Wagner graph.

Gubser (1996) defines an almost-planar graph to be a nonplanar graph for which every nontrivial minor is planar; he shows that 3-connected almost-planar graphs are Möbius ladders or members of a small number of other families, and that other almost-planar graphs can be formed from these by a sequence of simple operations.

Maharry (2001) shows that almost all graphs that do not have a cube minor can be derived by a sequence of simple operations from Möbius ladders.

Chemistry and physics

Walba et al. (1982) first synthesized molecular structures in the form of a Möbius ladder, and since then this structure has been of interest in chemistry and chemical stereography (Simon 1993), especially in view of the ladder-like form of DNA molecules. With this application in mind, Modèle:Harvs studies the mathematical symmetries of embeddings of Möbius ladders in R3.

Möbius ladders have also been used as the shape of a superconducting ring in experiments to study the effects of conductor topology on electron interactions (Mila et al. 1998; Deng et al. 2002).

Combinatorial optimization

Möbius ladders have also been used in computer science, as part of integer programming approaches to problems of set packing and linear ordering. Certain configurations within these problems can be used to define facets of the polytope describing a linear programming relaxation of the problem; these facets are called Möbius ladder constraints (Bolotashvili et al. 1999; Borndörfer and Weismantel 2000; Grötschel et al. 1985a, 1985b; Newman and Vempala 2004).

See also

References

  • Bolotashvili, G.; Kovalev, M.; Girlich, E., « New facets of the linear ordering polytope », SIAM Journal on Discrete Mathematics, vol. 12, no 3,‎ , p. 326–336 (DOI 10.1137/S0895480196300145)
  • Borndörfer, Ralf; Weismantel, Robert, « Set packing relaxations of some integer programs », Mathematical Programming, Series A, vol. 88, no 3,‎ , p. 425–450 (DOI 10.1007/PL00011381)
  • Deng Wen-Ji; Xu Ji-Huan; Liu Ping, « Period halving of persistent currents in mesoscopic Möbius ladders », Chinese Physics Letters, vol. 19, no 7,‎ , p. 988–991 (DOI 10.1088/0256-307X/19/7/333, arXiv cond-mat/0209421)
  • Erica Flapan, « Symmetries of Möbius ladders », Mathematische Annalen, vol. 283, no 2,‎ , p. 271–283 (DOI 10.1007/BF01446435)
  • Grötschel, M.; Jünger, M.; Reinelt, G., « On the maximum acyclic subgraph polytope », Mathematical Programming, vol. 33,‎ , p. 28–42 (DOI 10.1007/BF01582009)
  • Grötschel, M.; Jünger, M.; Reinelt, G., « Facets of the linear ordering polytope », Mathematical Programming, vol. 33,‎ , p. 43–60 (DOI 10.1007/BF01582010)
  • Gubser, Bradley S., « A characterization of almost-planar graphs », Combin. Probab. Comput., vol. 5, no 3,‎ , p. 227–245 (DOI 10.1017/S0963548300002005)
  • Guy, Richard K.; Harary, Frank, « On the Möbius ladders », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 10,‎ , p. 493–496
  • Jakobson, Dmitry; Rivin, Igor, « On some extremal problems in graph theory », {{Article}} : paramètre « périodique » manquant,‎ (arXiv math.CO/9907050)
  • Li, De-ming, « Genus distributions of Möbius ladders », Northeastern Mathematics Journal, vol. 21, no 1,‎ , p. 70–80
  • Maharry, John, « A characterization of graphs with no cube minor », Journal of Combinatorial Theory, Series B, vol. 80, no 2,‎ , p. 179–201 (DOI 10.1006/jctb.2000.1968)
  • McSorley, John P., « Counting structures in the Möbius ladder », Discrete Mathematics, vol. 184, nos 1–3,‎ , p. 137–164 (DOI 10.1016/S0012-365X(97)00086-1)
  • de Mier, Anna; Noy, Marc, « On graphs determined by their Tutte polynomials », Graphs Combin., vol. 20, no 1,‎ , p. 105–119 (DOI 10.1007/s00373-003-0534-z)
  • Mila, Frédéric; Stafford, C. A.; Capponi, Sylvain, « Persistent currents in a Möbius ladder: A test of interchain coherence of interacting electrons », Physical Review B, vol. 57, no 3,‎ , p. 1457–1460 (DOI 10.1103/PhysRevB.57.1457, lire en ligne)
  • Newman, Alantha; Vempala, Santosh « Fences are futile: on relaxations for the linear ordering problem » () (lire en ligne)
    — « (ibid.) », dans Integer programming and combinatorial optimization (Utrecht, 2001), Berlin, Lecture Notes in Computer Science, no. 2081, Springer-Verlag, p. 333–347
  • Simon, Jonathan « Knots and chemistry » ()
    — « (ibid.) », dans New scientific applications of geometry and topology (Baltimore, MD, 1992), Providence, RI, Proc. Sympos. Appl. Math., no. 45, American Mathematical Society, p. 97–130
  • Valdes, L., « Extremal properties of spanning trees in cubic graphs », Congr. Numer., vol. 85,‎ , p. 143–160
  • Wagner, K., « Über eine Eigenschaft der ebenen Komplexe », Mathematische Annalen, vol. 114,‎ , p. 570–590 (DOI 10.1007/BF01594196)
  • Walba, D.; Richards, R.; Haltiwanger, R.C., « Total synthesis of the first molecular Möbius strip », Journal of the American Chemical Society, vol. 104, no 11,‎ , p. 3219–3221 (DOI 10.1021/ja00375a051)

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Introduction

Les mathématiques, du grec máthēma (μάθημα) signifiant « connaissance, science », constituent un domaine de savoir, de recherche et d'enseignement, fondé sur le raisonnement logique. Elles portent sur les nombres, les formes, les opérations et d'autres notions qui permettent entre autres de modéliser l'évolution dans le temps, les procédures, notamment en informatique, et même le hasard.

L'histoire des mathématiques s'appuie sur une pratique du calcul probablement plus ancienne que l'écriture, mais ne commence en tant que telle qu'avec l'établissement des premiers théorèmes numériques ou géométriques.

Les mathématiques irriguent toutes les disciplines scientifiques et sont utilisées en économie ou dans les innovations technologiques, mais elles ont aussi des relations avec la philosophie, les arts plastiques, la musique et même les jeux et la littérature.

Lumière sur…
Trois solides de densités différentes peuvent subir une poussée d'Archimède inférieure, égale ou supérieure à leur poids.
Trois solides de densités différentes peuvent subir une poussée d'Archimède inférieure, égale ou supérieure à leur poids.

La poussée d'Archimède est une force, telle que définie par la mécanique newtonienne, qui agit sur tous les corps solides plongés dans un fluide. Pour pouvoir l'appréhender plus facilement, elle est généralement décrite par une phrase qui stipule "Tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de celui-ci une poussée verticale, dirigée de bas en haut, égale au poids du volume de fluide déplacé.".

Cette force provient de l'augmentation de la pression du fluide avec la profondeur (effet de la gravité sur le fluide, voir l'article hydrostatique) : la pression étant plus forte sur la partie inférieure d'un objet immergé que sur sa partie supérieure, il en résulte une poussée globalement verticale orientée vers le haut. C'est à partir de cette poussée qu'on définit la flottabilité d'un corps. Cette force permet notamment aux bateaux de pouvoir flotter sur l'eau.

Une légende court sur les circonstances de sa découverte: Archimède aurait eu l'intuition de cette relation alors qu'il était dans son bain en voyant son corps subir cette force, il aurait alors crié le célèbre « Eurêka ! » (j'ai trouvé !).

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