Hyperfonction

La notion d'hyperfonction, due à Mikio Satō, généralise celle de distribution (au sens de Schwartz). Les hyperfonctions sur la droite réelle se définissent comme des « valeurs au bord » sur l'axe réel de fonctions holomorphes; elles permettent de trouver des solutions non triviales à des équations différentielles linéaires dont la seule solution est nulle dans l'espace des distributions. L'espace des hyperfonctions est donc « plus gros » que celui des distributions; alors qu'une distribution est « localement d'ordre fini », une hyperfonction peut être « localement d'ordre infini » car elle est « localement » une fonctionnelle analytique (i.e., une forme linéaire continue sur un espace de fonctions analytiques). Un autre avantage est que le faisceau des hyperfonctions est « flasque » (c'est-à-dire que le morphisme de restriction d'un ouvert à un ouvert plus petit est surjectif), propriété qui n'est pas partagée par le faisceau des distributions. Enfin, les hyperfonctions sont des classes de cohomologie à coefficients dans le faisceau des fonctions analytiques; une telle interprétation cohomologique est tout à fait étrangère à la théorie des distributions, et elle explique que les hyperfonctions se prêtent mieux que les distributions à un traitement algébrique des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles (« analyse algébrique (en) »). A la suite des travaux de Satō, la théorie des hyperfonctions a été développée par plusieurs mathématiciens, parmi lesquels KashiwaraMasaki Kashiwara, Komatsu , Martineau et Schapira. Elle a donné lieu à plusieurs ouvrages didactiques développant des points de vue différents . Le présent article reprend dans ses grandes lignes, avec quelques compléments, la présentation d'un ouvrage qui expose, entre autres, l'application des hyperfonctions à la théorie des systèmes linéaires (au sens de l'automatique).

Hyperfonctions dans un ouvert de la droite réelle

Définition d'une hyperfonction

Soit $\Omega$ un ouvert de la droite réelle. Un voisinage complexe de $\Omega$ se définit comme étant un ouvert U du plan complexe qui est relativement fermé dans $\Omega$, c'est-à-dire dont l'intersection avec l'axe réel est $\Omega$. Le sous-ensemble $U-\Omega$ du plan complexe est ouvert.

On note ${\mathcal {O}}\left(U\right)$ (resp. ${\mathcal {O}}\left(\Omega \right)$) la $\mathbb {C}$-algèbre des fonctions à valeurs complexes, analytiques dans U (resp. $\Omega$). Puisque ${\mathcal {O}}\left(U\right)\subset {\mathcal {O}}\left(U-\Omega \right)$ (avec une notation évidente), on peut former le quotient

${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)={\mathcal {O}}\left(U-\Omega \right)/{\mathcal {O}}\left(U\right)$

On montre grâce à un théorème dû à Mittag-Leffler que ${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)$ ne dépend que de $\Omega$ et non du voisinage complexe U considéré, ce qui justifie la notation. On peut donc aussi écrire

${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)=\lim \limits _{\underset {U\in {\mathfrak {U}}\left(\Omega \right)}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}\left(U-\Omega \right)/{\mathcal {O}}\left(U\right)$

où ${\mathfrak {U}}\left(\Omega \right)$ est le système inductif des voisinages complexes de $\Omega$ ordonnés par l'inclusion.

Définition —  L'espace des hyperfonctions dans $\Omega$ est ${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)$.

L'espace ${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)$ est égal à $H_{\Omega }^{1}\left(U;{\mathcal {O}}\right)$, i.e. au premier groupe de cohomologie de U modulo $\Omega$ et coefficients dans le faisceau ${\mathcal {O}}$ (il s'agit de « cohomologie relative (en) », développée par Satō et, indépendamment, Grothendieck).

Soit $\varphi \in {\mathcal {O}}\left(U-\Omega \right)$. Puisque $U-\Omega =U_{+}\cup U_{-}$ où $U_{\pm }=\left\{z\in U:\pm \Im \left(z\right)>0\right\}$, cette fonction analytique $\varphi$ ci-dessus peut s'écrire de manière unique sous la forme $\varphi _{+}-\varphi _{-}$ où $\varphi _{\pm }\in {\mathcal {O}}\left(U_{\pm }\right)$. Son image canonique dans l'espace quotient ${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)$ (i.e. l'hyperfonction définie par cette fonction analytique) est notée $\left[\varphi \right]$. En tirant parti de la seconde expression ci-dessus de ${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)$, en tant que limite inductive, on écrit pour tout $x\in \Omega$

$\left[\varphi \right]\left(x\right)=\varphi \left(x+i0\right)-\varphi \left(x-i0\right)=\left[\varphi \left(z\right)\right]_{z=x}$.

On appelle $\varphi \in {\mathcal {O}}\left(U-\Omega \right)$ une fonction de définition de $\left[\varphi \right]$. On a (par définition) $\left[\varphi \right]=0$ si (et seulement si) $\varphi \in {\mathcal {O}}\left(U\right)$. Les valeurs aux bords de la fonction holomorphe $\varphi \left(z\right)\in {\mathcal {O}}\left(U-\Omega \right)$ sont

$\varphi \left(x+i0\right)=\left[\varepsilon \varphi \right]$ et $\varphi \left(x-i0\right)=-\left[{\bar {\varepsilon }}\varphi \right]$

où $\varepsilon \left(z\right)=\left\{{\begin{array}{c}1{\text{ si }}\Im \left(z\right)>0\\0{\text{ si }}\Im \left(z\right)<0\end{array}}\right.$ et ${\bar {\varepsilon }}\left(z\right)=\left\{{\begin{array}{c}0{\text{ si }}\Im \left(z\right)>0\\1{\text{ si }}\Im \left(z\right)<0\end{array}}\right.$ (on notera que $\varepsilon$ et ${\bar {\varepsilon }}$ appartiennent toutes deux à ${\mathcal {O}}\left(U-\Omega \right)$).

Opérations sur les hyperfonctions

Multiplication par une fonction analytique

Soit $f\in {\mathcal {O}}\left(\Omega \right)$. Il existe un voisinage complexe U de $\Omega$ tel que f se prolonge sur U; soit ${\tilde {f}}$ un tel prolongement. On définit alors le produit

$f\left[\varphi \right]:=\left[{\tilde {f}}\varphi \right]$,

ce qui confère à ${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)$ une structure de ${\mathcal {O}}\left(\Omega \right)$-module.

Plongement de l'espace des fonctions analytiques dans l'espace des hyperfonctions

Soit $f\in {\mathcal {O}}\left(\Omega \right)$ et ${\tilde {f}}$ son prolongement à un voisinage complexe de $\Omega$. Considérons l'hyperfonction $\left[{\tilde {f}}\varepsilon \right]=-\left[{\tilde {f}}{\bar {\varepsilon }}\right]$. L'application $f\mapsto \left[{\tilde {f}}\varepsilon \right]$ est bien définie et injective de ${\mathcal {O}}\left(\Omega \right)$ dans ${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)$, ce qui permet de plonger le premier espace dans le second.

Dérivation

La dérivée $D\left[\varphi \right]$ se définit par la relation

$D\left[\varphi \right]=\left[D\varphi \right]$.

Plus généralement, soit $P\left(D\right)=\sum \limits _{k=0}^{n}a_{i}D^{i}$ un opérateur différentiel à coefficients analytiques. On définit

$P\left(D\right)\left[\varphi \right]=\left[\sum \limits _{k=0}^{n}a_{i}D^{i}\varphi \right]$.

Ceci est encore possible si $P\left(D\right)$ est un opérateur d'ordre infini, c'est-à-dire si l'on remplace ci-dessus n par $+\infty$, sous réserve que la série $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }a_{i}D^{i}\varphi$ converge dans l'espace de Fréchet ${\mathcal {O}}\left(U-\Omega \right)$ (muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact). Un tel opérateur n'aurait bien entendu aucun sens appliqué à une distribution.

Restriction et support d'une hyperfonction

Soit $\Omega$ un ouvert de la droite réelle, $\left[\varphi \right]\in {\mathcal {B}}\left(\Omega \right)$, et $\Omega ^{\prime }$ un ouvert de la droite réelle inclus dans $\Omega$. On définit la restriction $\left[\varphi \right]\left\vert _{\Omega ^{\prime }}\right.$ de $\left[\varphi \right]$ à $\Omega ^{\prime }$ par la relation $\left[\varphi \right]\left\vert _{\Omega ^{\prime }}\right.=\left[\varphi \left\vert _{\Omega ^{\prime }}\right.\right]$. On a les deux résultats suivants:

Théorème —  Le morphisme de restriction $\rho _{\Omega }^{\Omega ^{\prime }}:{\mathcal {B}}\left(\Omega \right)\rightarrow {\mathcal {B}}\left(\Omega ^{\prime }\right)$ est surjectif, autrement dit le faisceau des hyperfonctions sur la droite réelle est flasque.

Théorème et définition — Il existe un plus grand ouvert $\Omega ^{\prime }\subset \Omega$ tel que $\left[\varphi \right]\left\vert _{\Omega ^{\prime }}\right.=0$. Le sous-ensemble $\Omega -\Omega ^{\prime }$, relativement fermé dans $\Omega$, est déterminé de manière unique est est appelé le support de $\left[\varphi \right]$.

Exemples d'hyperfonctions

Hyperfonction de Dirac et ses dérivées

Soit $\Omega$ un intervalle ouvert de la droite réelle contenant 0 et considérons l'hyperfonction

$\delta =\left[{\frac {-1}{2\pi iz}}\right]={\frac {1}{2\pi i\left(x+i0\right)}}-{\frac {1}{2\pi i\left(x-i0\right)}}$.

Soit $\psi \in {\mathcal {O}}\left(\Omega \right)$ et U un voisinage complexe simplement connexe de $\Omega$, suffisamment petit pour que $\psi$ admette un prolongement à U, prolongement que nous noterons de nouveau $\psi$ pour ne pas compliquer les écritures. Nous supposerons de plus que U a un bord $\partial U$ qui, orienté de manière canonique, est un lacet continûment dérivable (nous dirons alors que le bord $\partial U$ est régulier; par extension, dans la suite, un bord régulier pourra être la réunion de bords réguliers au sens restreint qui vient d'être défini si ces bords sont deux à deux disjoints). L'hyperfonction $\delta$ agit comme suit sur $\psi$:

$\left\langle \psi ,\delta \right\rangle :=-\oint \nolimits _{\partial U}{\frac {-1}{2\pi iz}}\psi \left(z\right)dz$.

Le théorème intégral de Cauchy entraîne que $\left\langle \psi ,\delta \right\rangle =\psi \left(0\right)$, ce qui correspond bien à la « fonction généralisée » de Dirac représentant la masse +1 au point 0.

La dérivée d'ordre n de $\delta$ est donnée par

$\delta ^{\left(n\right)}={\frac {-1}{2\pi i}}\left[{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}{\frac {1}{z}}\right]=\left(-1\right)^{n+1}{\frac {n!}{2\pi i}}\left[{\frac {1}{z^{n+1}}}\right]=\left(-1\right)^{n+1}{\frac {n!}{2\pi i}}\left({\frac {1}{\left(x+i0\right)^{n+1}}}-{\frac {1}{\left(x-i0\right)^{n+1}}}\right).$

Soit une fonction analytique $\psi$ définie comme ci-dessus. Le théorème intégral de Cauchy entraîne $\left\langle \psi ,\delta ^{\left(n\right)}\right\rangle =\left(-1\right)^{n}\psi ^{\left(n\right)}\left(0\right)$, formule analogue à celle que l'on obtient avec la dérivée d'ordre n de la distribution de Dirac.

On notera que l'hyperfonction de Dirac et toutes ses dérivées ont pour support $\left\{0\right\}$.

Hyperfonction de Heaviside

L'hyperfonction de Heaviside est définie par

$\Upsilon \left(x\right)=\left[{\frac {-1}{2\pi i}}\ln \left(-z\right)\right]_{z=x}$

où $\ln$ est la détermination principale du logarithme, et on vérifie immédiatement que sa dérivée est égale à l'hyperfonction de Dirac $\delta$

Une hyperfonction d'ordre infini

D'après ce qui précède, on a $\left[{\frac {1}{2\pi iz^{n+1}}}\right]={\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{n!}}\delta ^{\left(n\right)}$ si $n\geq 0$, cette hyperfonction étant nulle pour $n=-1$. On a d'autre part $e^{\frac {1}{z}}=1+\sum \limits _{n=0}^{+\infty }{\frac {1}{\left(n+1\right)!}}{\frac {1}{z^{n+1}}}$, par conséquent

$\left[{\frac {1}{2\pi i}}e^{\frac {1}{z}}\right]=\sum \limits _{n=0}^{+\infty }{\frac {1}{n!\left(n+1\right)!}}\delta ^{\left(n\right)}$

qui est une hyperfonction de support $\left\{0\right\}$. Cette hyperfonction étant d'ordre infini, elle ne peut pas être identifiée à une distribution (qui est toujours localement d'ordre fini), ce qui est dû au fait que 0 est un point singulier essentiel de la fonction de définition.

Hyperfonctions à support compact

Définition

Soit $\Omega$ un ouvert de la droite réelle et K un sous-ensemble compact de $\Omega$. Soit ${\mathcal {O}}\left(K\right)$ l'espace des germesgerme (mathématiques) de fonctions analytiques définies dans un voisinage (ouvert) complexe de K, à savoir la limite inductive

${\mathcal {O}}\left(K\right)=\lim \limits _{\underset {U\supset K}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}\left(U\right).$

Soit également ${\mathcal {B}}_{K}\left(\Omega \right)$ l'espace des hyperfonctions sur $\Omega$ à support inclus dans K. L'espace ${\mathcal {O}}\left(K\right)^{\prime }$ des formes linéaires continues sur ${\mathcal {O}}\left(K\right)$ est un espace de Fréchet-Schwartz, et il en va de même de ${\mathcal {B}}_{K}\left(\Omega \right)$. Il résulte d'un théorème dû à KötheGottfried Köthe que les deux espaces ${\mathcal {O}}\left(K\right)^{\prime }$ et ${\mathcal {B}}_{K}\left(\Omega \right)$ sont algébriquement et topologiquement isomorphes, et peuvent donc être identifiés.

Plus précisément, soit $\psi \in {\mathcal {O}}\left(K\right)$, $T=\left[\varphi \right]\in {\mathcal {B}}_{K}\left(\Omega \right)$ et U un voisinage complexe de K, inclus dans $\Omega$ et de bord régulier. Le crochet de dualité est défini par

$\left\langle \psi ,T\right\rangle =-\oint \nolimits _{\partial U}\psi \left(z\right)\varphi \left(z\right)dz$.

L'espace des hyperfonctions à support compact a donc une « bonne structure » d'espace vectoriel topologique, ce qui n'est pas le cas de l'espace des hyperfonctions à support non nécessairement compact, sur lequel aucune structure topologique ne peut être définie de façon raisonnable.

Convolution

Soit $T_{i}=\left[\varphi _{i}\right]\in {\mathcal {B}}_{K_{i}}\left(\mathbb {R} \right)$, $\varphi _{i}\in {\mathcal {O}}\left(\mathbb {C} -K_{i}\right)$, $i=1,2$, et

$\varphi \left(z\right)=\oint \nolimits _{\partial U}\varphi _{1}\left(w\right)\varphi _{2}\left(z-w\right)dw$.

où U est un voisinage complexe suffisamment petit de $K_{1}$. Alors $\varphi \in {\mathcal {O}}\left(\mathbb {C} -\left(K_{1}+K_{2}\right)\right)$ et on peut donc définir l'hyperfonction

$T_{1}\star T_{2}=\left[\varphi \right]\in {\mathcal {B}}_{K_{1}+K_{2}}\left(\mathbb {R} \right)$

appelée le produit de convolution des deux hyperfonctions à support compact $T_{1}$ et $T_{2}$.

Hyperfonction définie par une distribution à support compact

Soit $\Omega$ un ouvert de la droite réelle, K un sous-ensemble compact de $\Omega$ et T une distribution à support inclus dans K. Soit d'autre part $U\subset \Omega$ un voisinage complexe de K à bord régulier et pour $z\in U-\Omega$

$\varphi _{T}\left(z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \nolimits _{\Omega }{\frac {1}{x-z}}dT\left(x\right)$

(où, pour simplifier l'écriture, on a noté T comme une mesure). Alors $\left[\varphi _{T}\right]$ est l'hyperfonction définie par la distribution T. Le support de cette hyperfonction est identique à celui de T et l'application $T\mapsto \left[\varphi _{T}\right]$, ce qui permet de plonger l'espace des distributions à support compact dans l'espace des hyperfonctions à support compact.

A titre d'exemple, on vérifie immédiatement que $\left[\varphi _{\delta }\right]$ est bien l'hyperfonction de Dirac définie plus haut.

Plongement de l'espace des distributions dans l'espace des hyperfonctions

Principe général

Toute hyperfonction dans un ouvert $\Omega$ de la droite réelle peut s'écrire comme une somme infinie, mais localement finie, d'hyperfonctions dans $\Omega$ à support compact. Il en va de même pour une distribution. Grâce à la construction précédente, on peut donc plonger l'espace ${\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega \right)$ des distributions dans $\Omega$, dans l'espace ${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)$ des hyperfonctions dans $\Omega$. Ce plongement conserve le support.

Exemple

Considérons le peigne de Dirac Ш$=\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }\delta _{\left(n\right)}$ où $\delta _{\left(n\right)}$ est la distribution de Dirac représentant la masse +1 au point n. Il s'agit d'une distribution tempérée, de support non compact. On lui associe canoniquement l'« hyperfonction peigne de Dirac »

Ш$={\frac {1}{2\pi i}}\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }\left[{\frac {1}{n-z}}\right]$.

Hyperfonctions de Laplace

L'espace des hyperfonctions de Laplace à support limité à gauche se définit par

$B_{\left[a,+\infty \right[}^{\exp }={\mathcal {O}}^{\exp }\left(\mathbb {C} -\left[a,+\infty \right[\right)/{\mathcal {O}}^{\exp }\left(\mathbb {C} \right)$

où, lorsque $U$ est un ouvert du plan complexe réunion de secteurs fermés de la forme $\Sigma =\left\{z\in \mathbb {C} :\alpha \leq \arg \left(z-a\right)\leq \beta \right\}$, ${\mathcal {O}}^{\exp }\left(U\right)$ désigne les fonctions holomorphes de type exponentiel dans $U$, c'est-à-dire les fonctions holomorphes qui satisfont à une relation telle que

$\left\vert f\left(z\right)\right\vert \leq ce^{h\left\vert z\right\vert },z\in \Sigma$

pour chaque secteur fermé $\Sigma \subset U$.

On peut définir la transformée de Laplace ${\hat {T}}$ d'une hyperfonction de Laplace à support limité à gauche $T=\left[\varphi \right]$, et la transformation de Laplace $T\mapsto {\hat {T}}$ est injective. Considérons, pour simplifier, une hyperfonction T à support compact (ce qui implique qu'elle est une hyperfonction de Laplace); sa transformée de Laplace est alors la fonction entière définie par la relation

${\hat {T}}\left(s\right)=\left\langle \epsilon _{s},T\right\rangle$

où $\epsilon _{s}:x\mapsto e^{-sx}$. Par exemple, ${\widehat {\delta ^{\left(n\right)}}}\left(s\right)=s^{n}$ et en posant $T=\left[{\frac {1}{2\pi i}}e^{\frac {1}{z}}\right]~$,

${\hat {T}}\left(s\right)=\sum \limits _{n=0}^{+\infty }{\frac {s^{n}}{n!\left(n+1\right)!}}$

(voir un autre exemple dans Transformées de Laplace des hyperfonctions).

Hyperfonctions et équations différentielles

Classification des opérateurs différentiels

Soit $P\left(D\right)=\sum \limits _{k=0}^{n}a_{i}D^{i}$ un opérateur différentiel à coefficients analytiques dans un intervalle $\Omega$ de la droite réelle, où $a_{n}\neq 0$.

Les points x qui sont des zéros de $a_{n}$ sont appelés les points singuliers de l'opérateur $P\left(D\right)$. Supposons que x soit un point singulier et notons $ord_{x}a_{n}$ l'ordre de multiplicité de ce zéro. Considérons le polygone de Newton au point x, à savoir le plus haut polyèdre convexe situé au-dessous des $n+1$ points $\left(j,ord_{x}a_{j}\right),\ 0\leq j\leq n$, et notons sa plus grande pente $\sigma _{x}$. (De nombreux auteurs, se ramenant au cas où le point singulier est l'origine, prennent comme nouvelle dérivation $D=xd/dx$ au lieu de $d/dx$ , ce qui conduit bien entendu à modifier le polygone de Newton</math>.) Le point singulier x est dit régulier-singulier si $\sigma _{x}\leq 1$ et irrégulier-singulier si $\sigma _{x}>1$.

Les théorèmes de Satō et de Komatsu

Théorème de Satō —  L'opérateur $P\left(D\right)$ est surjectif de ${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)$ dans ${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)$. (Pour être plus explicite, une hyperfonction $T\in {\mathcal {B}}\left(\Omega \right)$ étant donnée, l'équation $P\left(D\right)f=T$ admet toujours une solution dans ${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)$.)

Komatsu la montré ce qui suit:

Théorème de Komatsu — 

(1) $\dim _{\mathbb {C} }\ker _{{\mathcal {B}}\left(\Omega \right)}\left(P\left(D\right)\right)=n+\sum \limits _{x\in \Omega }ord_{x}a_{n}$.

(2) Les conditions suivantes sont équivalentes:

(a) $P\left(D\right)$ n'a pas de point singulier;

(b) $\ker _{{\mathcal {B}}\left(\Omega \right)}\subset {\mathcal {O}}\left(\Omega \right)$;

(c) $P\left(D\right)f\in {\mathcal {O}}\left(\Omega \right)$ implique $f\in {\mathcal {O}}\left(\Omega \right)$.

(3) Les conditions suivantes sont équivalentes:

(d) Tous les points singuliers de $P\left(D\right)$ sont singuliers-réguliers;

(e) $\ker _{{\mathcal {B}}\left(\Omega \right)}\subset {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega \right)$;

(f) $P\left(D\right)f\in {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega \right)$ implique $f\in {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega \right)$.

Exemple

Considérons l'équation différentielle

$\left(x^{2}{\frac {d}{dx}}-1\right)f=0$.

Le seul point singulier est 0. En traçant le polygone de Newton, on obtient $\sigma _{0}=2$, donc 0 est irrégulier-singulier. La partie (1) du théorème de Komatsu implique que $\dim _{\mathbb {C} }\ker _{{\mathcal {B}}\left(\Omega \right)}\left(P\left(D\right)\right)=3$. La solution classique est la fonction indéfiniment dérivable $x\mapsto e^{-1/x}\left(x\in \mathbb {R} \right)$ prolongée par continuité en 0. Les deux autres solutions linéairement indépendantes sont les hyperfonctions $e^{-1/\left(x+i0\right)}$ et $\left[e^{-1/z}\right]$: la première est un prolongement de la solution $x\mapsto e^{-1/x}$ sur $\left]-\infty ,0\right[$ (aucune distribution n'est un tel prolongement), la seconde est supportée par l'origine (de même, aucune distribution supportée par l'origine n'est solution).

Généralisations

Hyperfonctions à plusieurs variables

Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb {R} ^{n}$ et U un voisinage complexe de $\Omega$, c'est-à-dire un ouvert de $\mathbb {C} ^{n}$ dans lequel $\Omega$ est relativement fermé. Satō a défini l'espace des hyperfonctions dans $\Omega$ par la relation

${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)=H_{\Omega }^{n}\left(U,{\mathcal {O}}\right)$,

à savoir le n-ième groupe de cohomologie de U modulo $\Omega$ et coefficients dans le faisceau ${\mathcal {O}}$, les groupes de cohomologie $H_{\Omega }^{p}\left(U,{\mathcal {O}}\right)$ étant nuls pour $p=0,...,n-1$. Il en découle que le faisceau des hyperfonctions est flasque. On définit le support d'une hyperfonction comme dans le cas d'une seule variable, et Martineau a montré l'isomorphisme ${\mathcal {B}}_{K}\left(\Omega \right)\cong {\mathcal {O}}\left(K\right)^{\prime }$ pour l'espace des hyperfonctions à support inclus dans le compact $K\subset \Omega$. En définissant l'espace des fonctionnelles analytiques ${\mathcal {O}}\left(\Omega \right)^{\prime }$ comme étant l'espace des sommes localement finies de fonctionnelles analytiques à support compact, Martineau a donc obtenu l'isomorphisme ${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)\cong {\mathcal {O}}\left(\Omega \right)^{\prime }$, et a identifié ces deux espaces. Ceci s'étend, mutatis mutandis, au cas où $\Omega$ est une variété analytique réelle de dimension n dénombrable à l'infini et où U est un complexifié de $\Omega$. Comme dans le cas d'une seule variable, le résultat de Martineau permet de plonger dans ${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)$ l'espace des distributions ${\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega \right)$, et ce plongement conserve le support. Schapira a donné la définition équivalente:

${\mathcal {B}}\left(\Omega \right)={\mathcal {O}}\left({\bar {\Omega }}\right)^{\prime }/{\mathcal {O}}\left(\partial \Omega \right)^{\prime }$

lorsque $\Omega$ est un ouvert borné de $\mathbb {R} ^{n}$.

Hyperfonctions à valeurs vectorielles

L'extension de la théorie au cas d'hyperfonctions à valeurs dans $\mathbb {C} ^{m}$ est triviale, mais on peut également définir et étudier des hyperfonctions à valeurs dans un espace de Fréchet complexe.

Notes et références

Références

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• (en) Hikosaburo Komatsu, « Laplace transforms of hyperfunctions -A new foundation of the Heaviside calculus- », J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, Math., vol. 34,‎ 1987, p. 805-820
• (de) Gottfried Köthe, « Dualität in Functiontheorie », J. Reine Angew. Math, vol. 191,‎ 1953, p. 30-49 (lire en ligne)
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• (de) André Martineau, « Les hyperfonctions de M. Sato », Séminaire Bourbaki,‎ 1960-1961, p. 127-139 (lire en ligne)
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• Pierre Schapira, Théorie des hyperfonctions, Springer-Verlag, 1970 (ISBN 3540049150)
• Laurent Schwartz, Théorie des distributions (3ème éd.), Hermann, 1966 (ISBN 2705655514)
• (en) Bogoljub Stankovic, « Laplace transform of Laplace Hyperfunctions and Its Applications », Novi Sad J. Math, vol. 31(1),‎ 2001, p. 9-17 (lire en ligne)

Voir aussi

• Distribution (mathématiques)
• Transformée bilatérale de Laplace