Lacet (mathématiques)

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En mathématiques, un lacet est la modélisation d'une « boucle ». C'est un chemin continu et fermé, c'est-à-dire que ses extrémités sont confondues. La notion de lacet est utile en analyse complexe et en topologie.

Définitions

Si $X$ est un espace topologique, on appelle lacet sur $X$ toute application continue $\gamma \, : \, [0,1] \rightarrow X$ telle que $\gamma(0)=\gamma(1)$.

Autres définitions :

• Un lacet sur $X$ est un chemin sur $X$ dont l'extrémité est confondue avec l'origine.
• Un lacet sur $X$ est une application continue de $S^1$ vers $X$ (où $S^1$ dénote le cercle unité $\{ z \in \mathbb{C} \mid |z|=1 \}$).

En analyse complexe, on s'intéresse aux lacets qui sont aussi des courbes rectifiables.

Un lacet f est dit simple lorsque l'égalité f(a) = f(b) implique, soit que a=b, soit que $\{a, b\} = \{ 0, 1 \}$. Intuitivement, cela signifie que le lacet ne dessine qu'une unique boucle. On peut aussi définir des lacets polygonaux, ou de classe $C^k$ (voir Chemins). Les termes de lacet simple et de courbe de Jordan sont synonymes.

Indice d'un lacet dans le plan complexe

Article détaillé : Indice (analyse complexe).

Dans le cas $X=\mathbb{C}$, on peut définir l'indice $\mathrm{I}(\gamma,z_0)$ d'un lacet $\gamma$ par rapport à un point $z_0\in\mathbb{C} \smallsetminus \gamma([0, 1])$ : il correspond au nombre (entier algébrique) de tours effectués par le lacet autour de ce point.

On peut l'obtenir en calculant :

$\operatorname{I}(\gamma, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{\mathrm dz}{z-z_0}$

Voir aussi

• Homotopie
• Connexité par arcs
• Connexité simple
• Groupe fondamental

• Analyse complexe | Théorème intégral de Cauchy | Théorème des résidus