Lacet (mathématiques)

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En mathématiques, un lacet est la modélisation d'une « boucle ». C'est un chemin continu et fermé, c'est-à-dire que ses extrémités sont confondues. La notion de lacet est utile en analyse complexe et en topologie.

Définitions[modifier | modifier le code]

Si X est un espace topologique, on appelle lacet sur X toute application continue \gamma \, : \, [0,1] \rightarrow X telle que \gamma(0)=\gamma(1).

Autres définitions :

  • Un lacet sur X est un chemin sur X dont l'extrémité est confondue avec l'origine.
  • Un lacet sur X est une application continue de S^1 vers X (où S^1 dénote le cercle unité \{ z \in \mathbb{C} \mid |z|=1 \}).

En analyse complexe, on s'intéresse aux lacets qui sont aussi des courbes rectifiables.

Un lacet f est dit simple lorsque l'égalité f(a) = f(b) implique, soit que a=b, soit que \{a, b\} = \{ 0, 1 \} . Intuitivement, cela signifie que le lacet ne dessine qu'une unique boucle. On peut aussi définir des lacets polygonaux, ou de classe C^k (voir Chemins). Les termes de lacet simple et de courbe de Jordan sont synonymes.

Indice d'un lacet dans le plan complexe[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Indice (analyse complexe).

Dans le cas X=\mathbb{C}, on peut définir l'indice \mathrm{I}(\gamma,z_0) d'un lacet \gamma par rapport à un point z_0\in\mathbb{C} \smallsetminus \gamma([0, 1]) : il correspond au nombre (entier relatif) de tours effectués par le lacet autour de ce point.

On peut l'obtenir en calculant :

 \operatorname{I}(\gamma, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{\mathrm dz}{z-z_0}

Voir aussi[modifier | modifier le code]