Théorème intégral de Cauchy

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En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy, ou de Cauchy-Goursat est un important résultat concernant les intégrales curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D'après ce théorème, si deux chemins différents relient les deux mêmes points et si une fonction est holomorphe « entre » les deux chemins, alors les deux intégrales de cette fonction suivant ces chemins sont égales.

Le théorème est habituellement formulé pour les lacets (i.e. les chemins dont le point de départ est confondu avec le point d'arrivée) de la manière suivante. Soient

\int_\gamma f(z)~\mathrm dz=0.

Condition de simple connexité[modifier | modifier le code]

La condition que U est simplement connexe signifie que U n'a pas de « trou » ; par exemple, tout disque ouvert  U = \{ z, \mid z - z_0 \mid < r \} \, satisfait à cette condition.

La condition est cruciale ; par exemple, si γ est le chemin défini par :

\gamma(t) = \exp( 2\pi it)\,

exp est la fonction exponentielle, qui décrit le cercle unité, alors l'intégrale sur ce chemin

\int_\gamma \frac{1}{z} \mathrm{d}z = 2\pi i

est non nulle ; le théorème intégral de Cauchy ne s'applique pas ici puisque f(z) = 1/z n'est pas prolongeable par continuité en 0.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Par des arguments de continuité uniforme de f sur des ε-voisinages compacts de l'image de γ dans U, l'intégrale de f sur γ est limite d'intégrales de f sur des lacets polygonaux[1]. Il suffit alors, pour conclure, d'invoquer le lemme de Goursat.


On peut également dans le cas où f est holomorphe en tout point de U considérer la famille de lacets : \gamma_{\alpha}(t) = z_0 + (1 - \alpha) (\gamma(t) - z_0) avec \alpha \in [0,1]

Conséquences[modifier | modifier le code]

  • Sous les hypothèses du théorème, f possède sur U une primitive complexe F. En effet, quitte à remplacer U par l'une de ses composantes connexes, on peut supposer que U est connexe. En fixant alors un point arbitraire z0 de U et en posant
    F(z)=\int_{P(z)}f(\xi)~\mathrm d\xi,
    P(z) est n'importe quel chemin rectifiable dans U de z0 à z (d'après le théorème, la valeur de F(z) ne dépend pas du choix de P(z)) et en adaptant à la variable complexe la démonstration du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral, on en déduit alors que F’ = f.
  • Pour une telle primitive on a immédiatement : pour tout chemin continûment différentiable par morceaux γ de a à b dans U :
    \int_\gamma f(z) \mathrm{d}z = F(b) - F(a).
  • Le peu d'hypothèses requises sur f est très intéressant, parce qu'on peut alors démontrer la formule intégrale de Cauchy pour ces fonctions, et en déduire qu'elles sont en fait indéfiniment dérivables.
  • Le théorème intégral de Cauchy est considérablement généralisé par le théorème des résidus.
  • Le théorème intégral de Cauchy est valable sous une forme légèrement plus forte que celle donnée ci-dessus. Supposons que U soit un ouvert simplement connexe de ℂ dont la frontière est l'image d'un lacet rectifiable γ. Si f est une fonction holomorphe sur U et continue sur l'adhérence de U, alors l'intégrale de f sur γ est nulle.[réf. nécessaire]

Surfaces de Riemann[modifier | modifier le code]

Le théorème intégral de Cauchy se généralise dans le cadre de la géométrie des surfaces de Riemann.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Liang-shin Hahn et Bernard Epstein, Classical complex analysis, Jones & Bartlett,‎ 1996 (ISBN 9780867204940, lire en ligne), p. 111

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Théorème de Morera