Connexité simple

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En topologie générale et en topologie algébrique, la notion de simple connexité raffine celle de connexité : là où un espace connexe est simplement « d'un seul tenant », un espace simplement connexe est de plus sans « trou » ni « poignée ».

On formalise cela en disant que tout lacet tracé dans un espace simplement connexe doit pouvoir être réduit continûment (c'est-à-dire par homotopie) à un point.

Définition[modifier | modifier le code]

Si X est un espace topologique connexe par arcs, on dit qu'il est simplement connexe si tout lacet tracé sur X est homotope à un point.

Intuitivement, on peut tirer sur le lacet pour le rétrécir jusqu'à ce qu'il ne forme plus qu'un point, il n'y a pas d'obstacle (c'est-à-dire de trou).

On parle aussi de parties simplement connexes ; une partie d'un espace topologique est dite simplement connexe si, munie de la topologie induite, elle constitue un espace topologique simplement connexe.

Formulations équivalentes :

  • On note S^1 = \left\{ z \in\C~|~|z|=1 \right\} le cercle unité et D = \left\{ z \in\C~|~|z|\le1\right\} le disque unité. Un espace topologique X connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si toute fonction continue f \, : \, S^1 \rightarrow X \,\! peut être prolongée en une fonction continue F \, : \, D \rightarrow X \,\!.
    Autrement dit tout plongement d'un cercle dans X peut être prolongé à un plongement du disque[réf. nécessaire], intuitivement on peut « colorier » l'intérieur de toute boucle tracée dans X.
  • Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si deux chemins quelconques p, q : [0, 1] → X tracés sur X sont homotopes.
  • Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si son groupe fondamental est trivial, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre.

Exemples[modifier | modifier le code]

Sont simplement connexes :

Ne sont pas simplement connexes :

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Tout revêtement d'un espace simplement connexe est un revêtement trivial.
  • Tout revêtement simplement connexe d'un espace est un revêtement universel.
  • Propriété de relèvement des homotopies (en). Toute application f continue d'un espace simplement connexe X dans la base B d'un revêtement π : YB, se relève, c'est-à-dire qu'il existe une application continue g : XY telle que f = π o g.
    Le cas particulier X = [0, 1] est la propriété de relèvement des chemins.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Un espace est localement simplement connexe lorsque tout point admet une base de voisinages simplement connexes. Les espaces localement contractiles sont localement simplement connexes.

Un espace est dit semi-localement simplement connexe (en) (par arcs) si tout point admet un voisinage U où tout lacet, contenu dans U, peut être déformé en un point dans X.

Articles liés[modifier | modifier le code]