Démonstration (logique et mathématique)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir démonstration.
P. Oxy. 29 : un des plus vieux fragments des Éléments d'Euclide qui montre une démonstration mathématique[1].

En logique et en mathématiques, une démonstration est un argument dit valide, c'est-à-dire un argument dont la vérité de ses prémisses entraîne nécessairement la vérité de sa conclusion.

Le terme « preuve » est parfois employé comme un synonyme de démonstration par attraction de l'anglais proof.

Définition[modifier | modifier le code]

De manière formelle, une démonstration est « une suite finie de formules dont chacune est soit un axiome, soit une conséquence immédiate des formes précédentes en vertus d'une règle d'inférence[2]

De manière générale, une démonstration est un « raisonnement qui permet d'établir la vérité d'une proposition.»[3] Pour ce faire, ce raisonnement d'appuie sur un ou plusieurs arguments disposés de façon à venir justifier une conclusion, c'est-à-dire la vérité d'un proposition. Cette justification doit impérativement respectée les règles d'inférences afin de garantir la validité de la justification ainsi que la démonstration.

Argument[modifier | modifier le code]

Formellement, une démonstration est un argument valide. Un argument est un ensemble d’énoncés, constitué des prémisses, et d'une conclusion, que les prémisses sont supposées étayer. Un énoncé est une phrase qui est susceptible d'être vraie ou fausse.

Deux types d'arguments existent, soit l'argument déductif et l'argument inductif.

Argument déductif[modifier | modifier le code]

La pensée déductive est un raisonnement de principes généraux abstraits à une hypothèse spécifique qui découle de ces principes. Les arguments résultant d'une telle réflexion sont appelés arguments déductifs[4].

Argument inductif[modifier | modifier le code]

La pensée inductive implique un processus complémentaire d'observation d'un certain nombre d'événements ou d'instances spécifiques et interférant avec un principe général abstrait pour expliquer ces instances. Les arguments résultant d'une telle pensée sont appelés arguments inductifs.[4]

Validité[modifier | modifier le code]

Dire qu'un argument est valide, c'est seulement dire qu'il conserve la vérité. Par ailleurs, la validité ne dit rien de la vérité effective des prémisses. De plus, la validité est indépendante de la vérité et de la fausseté de la conclusion.

Quand un argument déductif est dit valide, si et seulement si elle utilise des règles d’inférence par lesquelles les prémisses entraînent la conclusion, ou que les prémisses impliquent la conclusion. Il s'agit alors d'une démonstration déductive.

Quand un argument inductif est dit valide, si et seulement si elle utilise des règles d’inférence par lesquelles l’ensemble des prémisses justifient logiquement la conclusion, mais sans qu’il soit impossible que toutes les prémisses soient vraies et la conclusion fausse. Il s'agit alors d'une démonstration inductive.

La solidité et la force d'une démonstration[modifier | modifier le code]

Le solidité d'une demonstration renvoi à la solidité du lien prémisses-conclusion. On dira d'une démonstration qu'elle est « solide » si la vérité de ses prémisses augmente que beaucoup ou complètement la probabilité que la conclusion soit vraie. Ce qualificatif est davantage approprié pour des démonstration inductive, car probabilistes. Dans le cas de démonstration déductive, la validité représente alors la solidité totale.

À l'inverse, on dira d'une démonstration qu'elle est « fragile » si la vérité de ses prémisses n'augmente que peu ou pas la probabilité que la conclusion soit vraie.

Quant à la force, lorsqu'un argument est solide et que ses prémisses sont vraies ou très probables, on dira que l'argument est « fort ». Un argument peut ainsi être solide, mais « faible » parce qu'il s'appuie sur des prémisses fausses ou peu probables.

Démonstration absolue et relative[modifier | modifier le code]

Le concept de la démonstration absolue renvoi à l'idée d'une démonstration prouvant incontestablement la proposition à démontrer; décisive pour tous, partout et toujours; montrant que la solution donnée est implicitement admise par toutes personnes raisonnées.[5]

Cependant, le concept même de la démonstration requiert une connaissance antécédente afin d'établir les prémisses. L'idée d'une démonstration absolue, c'est-à-dire sans aucun supposé, apparaît alors absurde puisque la démonstration est un discours qui va du connu à l'inconnu.[6] À partir de ce constat, une démonstration se voit enclin à être démonstration relative à la vérité de ses prémisses.

Pour établir la vérité de ces prémisses, il faut établir la véracité des principes, des sujets et des propriétés que ces prémisses impliquent.

Concernant « les principes, on doit savoir qu'ils sont vrais »[6], leurs véracités est établit soit par le fait qu'ils sont évidents ou qu'ils ont été préalablement démontrés. Cette idée d'évidence revoit à une vérité apodictique. et explique pourquoi la notion de démonstration apodictique est parfois utilisé comme synonyme de démonstration absolue.[5]

Concernant les sujets, ils sont connus par leur essence et leur existence. L'essence est connue par définition et l'existence ne se démontre pas, elle est toujours supposée.[5]

Bref, dans l'absolue, il faudrait qu’ultimement les prémisses premières s'auto-démontrent afin d'établir un fondement vrai et absolu. Autrement dit, le plus haut niveau de vérité possible d'une prémisse relève au mieux d'une vérité apodictique. À cet effet, plusieurs logiciens à tenter de fonder des systèmes de logique ou de mathématique sur des fondements démontrables, notamment pendant la crise des fondements mathématiques.

Exemple[modifier | modifier le code]

Dans son Cours d'Analyse de l'École royale polytechnique publié en 1821, Cauchy donne un énoncé du théorème des valeurs intermédiaires comme le théorème IV du chapitre II, puis il en donne une démonstration (voir figures ci-dessus).

Les démonstrations dans l'architecture des mathématiques[modifier | modifier le code]

Une proposition une fois démontrée peut ensuite être elle-même utilisée dans d'autres démonstrations. Dans toute situation où les propositions initiales sont vraies, la proposition démontrée devrait être vraie ; on ne pourrait la remettre en cause qu'en remettant en cause une ou plusieurs des propositions initiales ou le système de règles de déduction lui-même.

Cette description peut s'avérer idéale. Il arrive qu'une démonstration s'appuie partiellement sur l'intuition, géométrique par exemple, et donc que toutes les propriétés admises, les axiomes, ne soient pas explicites. Les démonstrations de géométrie que l'on peut trouver dans les Éléments d'Euclide sont par exemple considérées encore aujourd'hui comme des modèles de rigueur, alors qu'Euclide s'appuie en partie sur des axiomes implicites, comme l'a montré David Hilbert dans ses « fondements de la géométrie ». Par ailleurs, les démonstrations des mathématiciens ne sont pas formelles et une démonstration peut être considérée comme correcte dans les grandes lignes, alors que des points resteraient à expliciter en toute rigueur, voire que d'autres sont entachés d'erreurs « mineures ». On rédige une démonstration pour être lue et convaincre les lecteurs, et le niveau de détail nécessaire n'est pas le même suivant les connaissances de ceux-ci. Cependant avec l'avènement des ordinateurs et des systèmes d'aide à la démonstration, certains mathématiciens contemporains rédigent des démonstrations qui sont amenées à être vérifiées par des programmes.

Typologie des démonstrations[modifier | modifier le code]

Les démonstrations mathématiques passent par diverses étapes en suivant une certaine ligne de déduction. Certains grands types de démonstrations ont reçu des dénominations spécifiques.

  • Les mathématiciens parlent assez informellement de démonstration directe[réf. nécessaire], pour une démonstration d'un énoncé n'utilisant que les constituants de celui-ci, de la façon la plus simple possible, sans les recomposer, et sans le déduire de théorèmes plus forts. Dans certains contextes, on peut considérer qu'une démonstration par l'absurde ou par contraposition est indirecte.
  • Une démonstration par un contre-exemple permet de valider une propriété existentielle (ou invalider une propriété universelle) (mais, en général, une proposition universelle ne peut être prouvée par un ou plusieurs exemples, même bien choisis).
  • Une démonstration par disjonction de cas (en) consiste à montrer que l'énoncé se ramène à un certain nombre (fini) de cas distincts, puis à les démontrer séparément.
  • Une démonstration par l'absurde consiste à montrer qu'en affirmant la négation de l'assertion à démontrer on aboutit à une contradiction, typiquement une proposition et sa négation.
  • Une démonstration est constructive si elle inclut une construction ou un mode de recherche effectif des objets dont elle établit l'existence.
  • Une démonstration par récurrence s'appuie sur une méthode de déduction spécifique (dite récurrence) pour affirmer qu'une assertion est démontrable pour tous les entiers naturels : elle consiste à démontrer l'assertion pour 0 (ou 1), puis à démontrer que de l'assertion pour l'entier n, on peut déduire l'assertion pour l'entier n+1. Il existe des variantes plus générales pour les éléments d'un certain ensemble bien ordonné ou pour des structures qui sont construites d'une façon qui étend celle avec laquelle les entiers naturels sont décrits.
  • Une démonstration probabiliste[7] utilise la théorie des probabilités pour démontrer l'existence certaine d'un objet.
  • Une démonstration par analyse-synthèse consiste à étudier les propriétés de l'hypothétique solution d'un problème dont on cherche à prouver l'existence et l'unicité, jusqu'à identifier une seule solution possible, puis à montrer que ce candidat est effectivement solution.
  • Une démonstration sans mots s'appuie sur une représentation visuelle d'un exemple bien choisi de la propriété à démontrer ; la valeur démonstrative d'un tel processus est néanmoins souvent contestée et il s'agit plutôt d'une heuristique.
  • Une démonstration combinatoire peut se faire par double dénombrement ou en considérant une bijection bien choisie.

Théorie de la démonstration[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorie de la démonstration.

La logique mathématique a développé une branche qui est consacrée à l'étude des démonstrations et des systèmes déductifs et s'appelle pour cela la théorie de la démonstration. Ainsi, la notion de démonstration est formalisée. On parle alors de démonstration formelle en tant qu'objet mathématique[8] qui contient toutes les étapes de la déduction. Une formule F d'un langage L est dite démontrée dans une théorie T si et seulement si il existe une suite finie de formules se terminant par F, telle que :

  • ou bien F est une formule de T ou un axiome logique,
  • ou bien F est déduite, par les règles d'inférence de la logique sous-jacente à T, des formules qui la précède dans la suite.

Incomplétude et indépendance[modifier | modifier le code]

Il est parfois possible de démontrer[9] qu'une certaine assertion ne peut pas être démontrée dans un certain système axiomatique. En géométrie, le postulat d'Euclide, appelé aussi axiome des parallèles, est indépendant des autres axiomes de la géométrie. L'axiome du choix ne peut pas être démontré dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, pas plus que sa négation. De façon analogue, ni l'hypothèse du continu ni sa négation ne sont démontrables dans la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix. On dit que ces assertions sont indépendantes de ce système d'axiomes : il est par conséquent possible d'ajouter aussi bien l'axiome du choix que sa négation à la théorie des ensembles, la théorie restera cohérente (en supposant que la théorie des ensembles le soit).

En fait, comme l'énonce le théorème d'incomplétude de Gödel, dans toute théorie axiomatique « raisonnable »[10] qui contient les nombres naturels, il existe des propositions qui ne peuvent pas être démontrées alors qu'elles sont en fait « vraies », c'est-à-dire, plus précisément, que toutes les instances, par chacun des entiers naturels, des propositions en question sont démontrables.

Outils d'aide à la démonstration[modifier | modifier le code]

L'informatique a construit des outils d'aide à la démonstration qui sont de deux ordres :

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « The oldest diagram from Euclid », sur www.math.ubc.ca (consulté le 27 juillet 2017)
  2. Encyclopaedia Universalis, Dictionnaire des Idées: Les Dictionnaires d'Universalis, Encyclopaedia Universalis, (ISBN 9782852299344, lire en ligne)
  3. « Démonstration : Définition philosophique », sur dicophilo.fr (consulté le 29 avril 2018)
  4. a et b « Différence entre les arguments déductifs et inductifs 2018 », sur EsDifferent.com (consulté le 30 avril 2018).
  5. a, b et c Gérard Casimir Ubaghs, Précis de logique élémentaire, Ickx et Geets, (lire en ligne)
  6. a et b INTRODUCTION GENERALE et LOGIQUE, Editions Beauchesne (lire en ligne)
  7. Une démonstration probabiliste ne doit pas être confondue avec l'assertion « ce théorème est probablement vrai ».
  8. Métamathématique plus précisément.
  9. Il s'agit d'une démonstration dans la méta-théorie.
  10. On peut vraiment en énoncer les axiomes et, même s'il y en a une infinité, les décrire précisément de façon finie, un énoncé précis de cette notion de théorie raisonnable repose sur la théorie de la calculabilité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) John W. Dawson, Jr. (en), Why Prove it Again?: Alternative Proofs in Mathematical Practice, Birkhäuser, (lire en ligne)