Base orthonormée

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En géométrie vectorielle, une base orthonormale, ou base orthonormée (BON) d'un espace euclidien ou hermitien est une base de cet espace vectoriel constituée de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux. Dans une telle base, les coordonnées d'un vecteur quelconque de l'espace sont égales aux produits scalaires de ce vecteur par chacun des vecteurs de base, et le produit scalaire de deux vecteurs quelconques a une expression canonique en fonction de leurs coordonnées.

Définitions[modifier | modifier le code]

Dans un espace préhilbertien E (c'est-à-dire un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire), une famille (vi)iI de vecteurs est dite orthogonale[1],[2] si ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux :

Une telle famille est dite orthonormale[1],[2] si de plus tous ces vecteurs sont unitaires :

En résumé, une famille (vi)iI est orthonormale si i, jIvi, vj⟩ = δi,j.

Toute famille orthogonale formée de vecteurs non nuls est libre[1],[2].

Une famille orthonormale est donc libre. Elle est appelée base orthonormale de E si elle est de plus génératrice de E, autrement dit si c'est une base de E[1],[2].

Si l'espace préhilbertien E est euclidien ou hermitien, c'est-à-dire s'il est de dimension finie, une famille orthonormale est une base si et seulement si elle contient n vecteurs, où n est la dimension de E[1],[2].

Dans la suite de l'article, En désigne un espace euclidien de dimension n.

Repère orthonormal (ou orthonormé)[modifier | modifier le code]

Soient An un espace affine euclidien associé à l'espace vectoriel euclidien En et O un point quelconque de An, alors un repère affine

est dit orthonormal si sa base associée est elle-même orthonormale.

En géométrie dans l'espace[modifier | modifier le code]

En géométrie dans l'espace, la base est en général notée au lieu de .

La base est dite directe si est le produit vectoriel de et de (c'est-à-dire ).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Existence de bases orthonormales[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Procédé de Gram-Schmidt.

À partir d'une base quelconque d'un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt fournit une méthode constructive pour obtenir une base orthonormale de cet espace. Notamment, on peut affirmer :

Dans tout espace euclidien de dimension non nulle, il existe des bases orthonormales.

En appliquant ce résultat à l'orthogonal de l'espace engendré par une famille orthonormale de p vecteurs de En, on établit le théorème de la base orthonormale incomplète :

Toute famille orthonormale de vecteurs d'un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormale de cet espace.

L'existence de bases orthonormales permet d'établir que l'infinité de structures euclidiennes dont peut être muni un espace vectoriel — avec des notions d'orthogonalité différentes — sont toutes isomorphes entre elles[3].

Calculs dans une base orthonormale[modifier | modifier le code]

Soit une base orthonormale de En.

La décomposition d'un vecteur de En dans cette base est donnée par :

.

L'expression du produit scalaire de deux vecteurs de En est alors donnée par :

.

L'expression du carré de la norme d'un vecteur de En est donc :

.

Ces trois propriétés sont en fait équivalentes entre elles, et équivalentes au fait que la famille soit une base orthonormale de En.

Le caractère 1-lipschitzien d'un projecteur orthogonal permet d'en déduire l'inégalité de Bessel, qui comporte une généralisation à une famille orthonormale infinie.

Changement de base orthonormale[modifier | modifier le code]

Si est une base orthonormale et une famille quelconque de En, alors

est une base orthonormale si et seulement si la matrice de la famille dans la base est orthogonale.

Les endomorphismes qui transforment une base orthonormale en une base orthonormale sont donc les automorphismes orthogonaux.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c, d et e Gérard Debeaumarché, Francis Dorra et Max Hochart, Mathématiques PSI-PSI* : Cours complet avec tests, exercices et problèmes corrigés, Pearson, coll. « Cap Prépa », (lire en ligne), p. 113-114.
  2. a, b, c, d et e Steeve Sarfati et Matthias Fegyvères, Mathématiques: méthodes, savoir-faire et astuces, Bréal, coll. « Optimal mathématiques », (lire en ligne), p. 129-130, pour une famille finie d'un espace préhilbertien réel.
  3. Jean Dieudonné, « Groupes : Algèbre, analyse, géométrie », dans Dictionnaire des mathématiques, Algèbre, analyse, géométrie, Albin Michel & Encyclopædia Universalis, , 924 p. (ISBN 2-226-09423-7), p. 534.

Articles connexes[modifier | modifier le code]