Géométrie hyperbolique

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Deux représentations du plan hyperbolique : il existe une infinité de « droites » qui, comme d1, d2 et d3, passent par le point M et sont parallèles à la « droite » D. À gauche, modèle de Lorentz ; à droite, un des modèles de Poincaré.

En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée parfois géométrie de Lobatchevski, lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie[1],[2]) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats de la géométrie euclidienne, mais pour laquelle le postulat euclidien des parallèles est remplacé par le postulat que « par un point extérieur à une droite passe plus d'une droite parallèle » (on démontre alors qu'il en existe une infinité).

En géométrie hyperbolique, les propriétés métriques de la géométrie euclidienne ne sont plus valables ; en particulier on n'a plus le théorème de Pythagore, et la somme des angles d'un triangle est toujours inférieure à 180°, mais les droites sont toujours les lignes de plus court chemin joignant deux points, ce qui permet de les modéliser comme des géodésiques sur une surface de courbure constante négative (comme les droites de la géométrie elliptique sont modélisées par des grands cercles sur une sphère).

Klein, Lorentz et Poincaré ont créé ainsi plusieurs modèles de géométrie hyperbolique, comme le modèle de l'hyperboloïde ou celui du disque de Poincaré. Ces modèles montrent l'indépendance de l'axiome des parallèles, c'est-à-dire que si la géométrie euclidienne ne contient pas de contradiction, il en est de même de la géométrie hyperbolique.

Historique[modifier | modifier le code]

L'histoire de la géométrie hyperbolique semble commencer au début du XVIIIe siècle avec les travaux du mathématicien italien Giovanni Girolamo Saccheri[3], qui chercha à démontrer dans l'œuvre de sa vie, Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclide sans erreur), que les postulats d'Euclide étaient cohérents et nécessaires pour définir la géométrie euclidienne. Il chercha notamment, par une démonstration par l'absurde, à obtenir des contradictions en supposant faux le 5e postulat d'Euclide sur les parallèles.

Il échoua dans cette tentative, mais obtint en revanche - en supposant faux le 5e postulat - une grande quantité de théorèmes tout à fait cohérents entre eux, qui appartiennent maintenant à la géométrie hyperbolique. Mais il ne réalisa pas qu'il avait sous les yeux une nouvelle géométrie, et considéra son œuvre et sa vie comme un échec.

Au milieu du XVIIIe siècle, Jean-Henri Lambert étudia également les conséquences de la négation du 5e postulat d'Euclide, et obtint des théorèmes et des résultats précis appartenant à la géométrie hyperbolique, comme la formule donnant la somme des angles d'un triangle en fonction de sa surface, en géométrie hyperbolique :

sont les angles des trois sommets du triangle, C un coefficient de proportionnalité, et la surface du triangle. Vers la fin de sa vie, il semble qu'il ait réalisé que ces théorèmes manifestaient l'existence d'une authentique géométrie « sur une sphère de rayon imaginaire »[3].

Ce sont, près d'un siècle plus tard, les travaux de Carl Friedrich Gauss qui sont généralement reconnus comme étant le véritable point de départ de la géométrie hyperbolique, bien que ceux-ci n'aient jamais été publiés de son vivant. Il formula dans ses notes une théorie structurée, et il semble qu'il avait pleinement conscience que cette géométrie avait un statut mathématique équivalent à celui de la géométrie euclidienne. Il aurait même essayé de mesurer, par des expériences de géodésie, si la géométrie hyperbolique n'était pas à grande échelle la géométrie réelle de l'univers[4].

Au cours du XIXe siècle, la géométrie hyperbolique a été redécouverte et explorée de manière extensive par Nikolaï Lobatchevski en 1830 et indépendamment par János Bolyai en 1832.

Eugenio Beltrami proposa en 1868 plusieurs représentations de la géométrie hyperbolique, dont la représentation conforme et projective, redécouvertes par la suite respectivement par Henri Poincaré et Felix Klein. Il démontra, à l’aide de ces représentations, que si la géométrie euclidienne est mathématiquement cohérente, alors la géométrie hyperbolique l'est aussi nécessairement, et donc que l’axiome des parallèles est indépendant des autres.

Propriétés du plan hyperbolique[modifier | modifier le code]

La géométrie de l’espace hyperbolique se déduit de celle du plan comme dans le cas euclidien, et il n’apparaît pas de phénomènes essentiellement nouveaux, c’est pourquoi cet article ne détaille que les propriétés des figures planes.

Géométrie absolue[modifier | modifier le code]

Les propriétés du plan qu'on peut démontrer à partir des axiomes d'Euclide (ou d'une formulation plus rigoureuse et moderne, telle que celle de Hilbert), à l'exception de l'axiome des parallèles, sont dites appartenir à la géométrie absolue (en). Ainsi, par exemple, on montre que deux perpendiculaires à une même droite n'ont pas de points communs, et donc qu'il existe toujours des parallèles (c'est pourquoi la géométrie elliptique n'est pas une géométrie absolue). De nombreuses propriétés de la géométrie hyperbolique coïncident ainsi avec celles de la géométrie euclidienne, parfois au prix d'une reformulation : on vérifie aisément que les bissectrices intérieures d'un triangle quelconque sont concourantes (la démonstration n'utilise pas la notion de parallèles), et donc qu'il existe un cercle inscrit à ce triangle ; les propriétés des médiatrices amèneraient à penser qu'elles sont également concourantes et donc qu'il existe également un cercle circonscrit, mais ce résultat est faux en général dans le plan hyperbolique, car deux perpendiculaires à deux droites concourantes peuvent être parallèles ; ce qui reste vrai, c'est que si deux médiatrices d'un triangle se coupent, les trois médiatrices sont concourantes (le même résultat est également vrai pour les hauteurs du triangle).

Parallèles[modifier | modifier le code]

Droites passant par P et asymptotes à la droite R.

Partant de l'axiome des parallèles modifié (par exemple sous la forme : «  il existe au moins deux droites concourantes parallèles à une même troisième »), on démontre que pour toute droite D et pour tout point P non sur D, il existe une infinité de droites passant par P et ne rencontrant pas D, situées entre deux droites limites formant un angle 2θ ne dépendant que de la distance de P à D ; θ est appelé angle de parallélisme (le calcul de cet angle en fonction de la distance sera fait dans la section consacré aux propriétés métriques). Les deux droites limites sont dites parallèles asymptotes à D. On démontre que si deux droites (du plan) sont non sécantes (parallèles au sens euclidien usuel), elles sont asymptotes, ou il existe une et une seule droite perpendiculaire aux deux ; le segment découpé sur cette perpendiculaire commune correspond à la distance minimale entre ces deux droites (laquelle est nulle pour deux droites asymptotes). Certains auteurs réservent le terme de parallèles aux parallèles asymptotes ; les autres droites non sécantes sont alors dites hyperparallèles.

Cercles et pseudo-cercles[modifier | modifier le code]

Un horocycle (en bleu) dans le modèle du disque de Poincaré et des normales, convergeant asymptotiquement vers un point à l'infini.

Les propriétés métriques d'un cercle de rayon diffèrent de celles du plan euclidien : son périmètre et son aire sont respectivement supérieurs à et à . Mais de plus, des propriétés caractéristiques des droites euclidiennes définissent de nouvelles courbes du plan hyperbolique, qui par certains côtés peuvent s'interpréter comme des cercles généralisés : les points situés à une distance fixe d d'une droite donnée D forment une courbe appelée un hypercycle (en); les courbes dont les normales en tout point forment une famille de droites asymptotiquement parallèles sont appelées des horocycles (en). Dans le modèle du disque de Poincaré, les cercles, les horocycles et les hypercycles (ainsi que les droites) sont tous représentés par des cercles ou des arcs de cercles. Par trois points formant triangle passe une courbe unique de cette famille (un cercle, un horocycle ou un hypercycle), qui généralise donc la notion de cercle circonscrit à ce triangle. Enfin, une suite de points tels que les segments sont tous de même longueur et que , où θ est l'angle de parallélisme à en (et donc les perpendiculaires à ces segments sont toutes asymptotiquement parallèles) forme un polygone régulier infini, appelé un apeirogone (en), inscrit dans un horocycle.

Polygones réguliers et pavages[modifier | modifier le code]

Pavage du plan hyperbolique par des pentagones réguliers.

L’angle au sommet d’un polygone régulier à n côtés (qui vaut dans le plan euclidien) dépend de la longueur a du côté en géométrie hyperbolique et peut être rendu aussi petit que l’on veut. C’est pourquoi on peut paver de manière uniforme le plan hyperbolique avec des polygones réguliers d'un nombre quelconque de côtés, et avec n'importe quel nombre de polygones ayant un sommet commun[5] (alors qu'il n'existe dans le plan euclidien que trois pavages uniformes). L'exemple ci-contre représente (dans le modèle du disque de Poincaré) un pavage par des pentagones réguliers ayant cinq angles droits.

Propriétés métriques[modifier | modifier le code]

Contrairement au plan euclidien, il existe une échelle absolue des longueurs dans le plan hyperbolique, analogue au rayon de la sphère en géométrie sphérique. Il est d'ailleurs possible de le considérer comme une variété riemanienne, de courbure constante négative K. En choisissant convenablement l'unité de longueur, on peut prendre K égal à -1 ; c'est cette convention qui sera utilisée dans la suite (pour des formules plus générales, il faudrait multiplier par -K toutes les longueurs y apparaissant ; ainsi, dans le cas général, l'aire d'un disque de rayon r est ).

Angle de parallélisme[modifier | modifier le code]

Si P est un point hors de la droite D et H son projeté orthogonal sur D (avec la distance de P à D), les formules données ci-dessous pour un triangle rectangle PHM, avec M sur D s'éloignant à l'infini, aboutissent à la formule donnant le sinus de l'angle de parallélisme θ :

.

Cet angle tend très rapidement vers 0 lorsque P s'éloigne de D, c'est-à-dire que la plupart des droites passant par P sont parallèles à D.

Aires[modifier | modifier le code]

Le périmètre d'un cercle de rayon r est ; l'aire du disque correspondant est . Ainsi, l'aire d'un disque croit beaucoup plus vite avec son rayon que dans le plan euclidien. Il en va tout autrement de l'aire Δ d'un triangle (dont les angles α, β et γ sont d'autant plus petits que les côtés sont grands) : Lambert a démontré que , formule identique au signe près à la formule de Girard en trigonométrie sphérique.

Trigonométrie du triangle hyperbolique[modifier | modifier le code]

Triangle hyperbolique (représenté dans le disque de Poincaré).

Formellement, on peut obtenir les résultats correspondant au plan hyperbolique en supposant le triangle tracé sur une sphère de rayon imaginaire (c'est-à-dire que ) ; en d'autres termes, en remplaçant dans les formules classiques de la trigonométrie sphérique les sinus et les cosinus des arcs (et non ceux des angles) par les sinus et cosinus hyperboliques (et en corrigeant certains signes). Ainsi, pour un triangle ABC, avec les mêmes conventions que dans le cas sphérique (côtés notés a=BC, b=AC et c=AB ; angles correspondants notés α, β et γ) on a une loi des cosinus : , une loi des cosinus duale : , et une loi des sinus : . En particulier, pour un triangle rectangle en C, on a  ; comme pour x suffisamment petit, on retrouve à la limite le théorème de Pythagore.

Représentations de la géométrie hyperbolique[modifier | modifier le code]

Une représentation d'une géométrie est un modèle permettant de représenter graphiquement et de manière cohérente une géométrie et ses propriétés. Par exemple, le diagramme de Minkowski est une représentation de la géométrie minkowskienne.

Il existe plusieurs représentations de la géométrie hyperbolique. Aucune n'est plus « vraie » ou plus « réelle » qu'une autre. Elles sont équivalentes sur le plan mathématique. Il existe d'ailleurs des isomorphismes permettant de passer d'une représentation à une autre.

Représentation de Klein-Beltrami ou représentation projective[modifier | modifier le code]

Parallèles et hyperparallèles dans le modèle de Klein-Beltrami.

Dans ce modèle, l'espace hyperbolique est une boule ouverte euclidienne. En dimension 2, le plan hyperbolique est donc modélisé par un disque ouvert. Les droites de l'espace hyperbolique sont des segments dont les extrémités appartiennent au bord de la boule. De ce fait, la représentation des droites hyperboliques y est aisée. Mais les angles ne sont pas conservés et les cercles sont représentés par des ellipses.

La sphère (ou le cercle en dimension 2) limitant le domaine du modèle correspond à des points de l'espace hyperbolique situés à l'infini. Aussi, plus on s'approche du bord du domaine et plus les distances ont l'air de se contracter dans le modèle.

Disque de Poincaré, ou représentation conforme[modifier | modifier le code]

Pavage du plan hyperbolique par des heptagones réguliers, dans le modèle du disque de Poincaré.

Comme dans le modèle de Klein-Beltrami, l'espace hyperbolique est représenté dans ce modèle par une boule ouverte euclidienne (et donc par un disque en dimension 2), mais les droites de cet espace hyperbolique sont des arcs de cercles perpendiculaires au bord de la boule. L'intérêt de cette représentation est que, localement, la métrique de l'espace est, à un facteur près, la métrique euclidienne du modèle. En particulier, l'angle entre deux droites de l'espace hyperbolique est égal à l'angle de la géométrie euclidienne formé par les deux arcs de cercles du modèle représentant ces deux droites. On dit que la représentation de l'espace hyperbolique est conforme.

Comme dans le modèle de Klein-Beltrami, la sphère (ou le cercle en dimension 2) limitant le domaine du modèle correspond à des points de l'espace hyperbolique situés à l'infini. Aussi, plus on s'approche du bord du domaine et plus les distances ont l'air de se contracter dans le modèle.

Demi-plan de Poincaré[modifier | modifier le code]

Pavage du plan hyperbolique par des heptagones réguliers, dans le modèle du demi-plan de Poincaré.

Dans ce modèle, l'espace hyperbolique est un demi-espace ouvert de . En dimension 2, le plan hyperbolique est donc modélisé par un demi-plan euclidien. Les droites de cet espace hyperbolique sont des arcs de cercles perpendiculaires à l'hyperplan (ou à la droite en dimension 2) limitant le demi-espace. La représentation est là aussi conforme.

Dans ce modèle, l'hyperplan (ou la droite en dimension 2) limitant le domaine correspond à des points de l'espace hyperbolique situés à l'infini. Aussi, plus on s'approche de cet hyperplan et plus les distances ont l'air de se contracter dans le modèle.

Représentation de Lorentz, ou représentation hyperboloïde[modifier | modifier le code]

Dans ce modèle, l'espace hyperbolique est une nappe d'un hyperboloïde muni d'une métrique particulière. Plus précisément, dans l'espace , muni de la pseudo-métrique (espace de Minkowski) c'est la nappe de l'hyperboloïde d'équation telle que , munie de la pseudo-métrique induite, qui est en fait une métrique riemannienne homogène.

Applications[modifier | modifier le code]

Théorie de la complexité[modifier | modifier le code]

Dynamique chaotique[modifier | modifier le code]

Le flot géodésique sur une variété riemannienne compacte à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit, une propriété remarquée dès 1898 par Hadamard[6]. On sait aujourd'hui que ce flot est, par ordre croissant d'irrégularités[7],[8] :

  • ergodique ;
  • mélangeant (« mixing ») ;
  • K-système (Anosov) ;
  • C-système = bernoullien[9].

Lire aussi : Chaos on the pseudosphere[10], Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas[11], Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane[12].

Dans la culture[modifier | modifier le code]

Littérature[modifier | modifier le code]

Si beaucoup de textes de science-fiction et de fantastique font référence à des géométries non-euclidiennes (Lovecraft mentionnant à plusieurs reprises que leur utilisation dans l'architecture des Grands Anciens rend fou ceux qui essaient de la comprendre[13]), il semble que seul le roman de Christopher Priest, Le Monde inverti, se déroule dans un univers (la surface d'une caténoïde) à géométrie hyperbolique.

Arts graphiques[modifier | modifier le code]

Escher, grâce aux outils que lui a fourni Coxeter en 1952, a utilisé à plusieurs reprises des pavages du plan hyperbolique en en transformant les motifs pour en faire des figures anthropomorphiques ou des animaux, comme dans Anges et Démons[14], ou dans la série des Limites circulaires[15].

Références[modifier | modifier le code]

  1. Nikolaï I. Lobatchevski, Géométrie imaginaire, dans Journal für die reine und angewandte Mathematik 17 (1837), 295-320, [lire en ligne].
  2. (en) Nikolaï I. Lobatchevski, Pangeometry (), éd. et trad. Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Zürich, EMS, xii, 310~p., 2010 (ISBN 978-3-03719-087-6).
  3. a et b Roger Penrose, À la découverte des lois de l'univers, Odile Jacob, 2007, chap 2.4.
  4. (en) Jeremy Gray, Ideas of Space : Euclidean, Non-Euclidean and Relativistic [détail des éditions].
  5. Voir (en)cette liste (et le tableau l'illustrant) sur la Wikipédia anglophone
  6. Jacques Hadamard, « Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques », dans Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. 4, 1898, p. 27.
  7. (en) Vladimir Arnold et André Avez, Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley, 1988.
  8. Pierre Pansu, « Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative », dans Séminaire Bourbaki, vol. 738, 1991, publié dans Astérisque, vol. 201-203, 1991, p. 269-298.
  9. (en) Donald S. Ornstein et Benjamin Weiss, « Geodesic flows are Bernouillians », dans Israel Journal of Mathematics, vol. 14, 1973, p. 184.
  10. (en) Nandor Balazs (en) et André Voros, « Chaos on the pseudosphere », dans Physics Report, vol. 143, 1986, p. 109.
  11. (en) Yves Colin de Verdière, « Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas », dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros et Jean Zinn-Justin (éditeurs), Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'École d'été de physique théorique des Houches de 1989, session LII, North-Holland, 1991 (ISBN 0-444-89277-X).
  12. (en) Charles Schmit, « Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane », dans Chaos & Quantum Physics, op. cit.
  13. (en) Thomas Hull, « H.P. Lovecraft: a Horror in Higher Dimensions », Math Horizons, vol. 13, no 3,‎ , p. 10–12 (ISSN 1072-4117, lire en ligne, consulté le 14 novembre 2020).
  14. Voir sur ce blog
  15. Récit de cette rencontre, avec quelques illustrations.

Annexes[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie complémentaire[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]