Sphère

En géométrie dans l'espace, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette distance au centre est appelée le rayon de la sphère. La géométrie sphérique est la science qui étudie les propriétés des sphères. La surface de la Terre peut, en première approximation, être modélisée par une sphère dont le rayon est d'environ 6 371 km.

Plus généralement en mathématiques, dans un espace métrique, une sphère est l'ensemble des points situés à même distance d'un centre. Leur forme peut alors être très différente de la forme ronde usuelle. Une sphère est également un ellipsoïde dégénéré.

Les points dont la distance au centre est inférieure ou égale au rayon constituent une boule.

Sphère euclidienne (dans l’espace à 3 dimensions)

Représentation

En géométrie cartésienne, une sphère de centre $(x_{0},y_{0},z_{0})$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points $(x,y,z)$ tels que :

\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}

.

Les points de la sphère de rayon r et de centre l'origine du repère peuvent être paramétrés par :

\left\{{\begin{matrix}x&=&r\cos \theta \;\cos \phi \\y&=&r\cos \theta \;\sin \phi \\z&=&r\sin \theta \end{matrix}}\right.\qquad \left({\frac {-\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}{\mbox{ et }}-\pi \leq \phi \leq \pi \right)

On peut voir $\displaystyle \theta$ comme la latitude et $\displaystyle \phi$ comme la longitude. (Voir fonctions trigonométriques et coordonnées sphériques.)

Formules

L'aire d'une sphère de rayon $r$ est :

A=4\pi r^{2}

.

Le volume de la boule qu'elle renferme est :

V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}

.

Sa compacité, c'est-à-dire le rapport entre son volume et sa surface est de

C={\frac {V}{A}}={\frac {r}{3}}

.

Le moment d'inertie d'une boule homogène de rayon $r$ , de masse volumique $\rho$ et de masse M, par rapport à un axe passant par son centre est :

I={\frac {2Mr^{2}}{5}}={\frac {8\pi \rho r^{5}}{15}}

.

Le moment d'inertie d'une sphère homogène de rayon $r$ et de masse M, par rapport à un axe passant par son centre est :

I={\frac {2Mr^{2}}{3}}={\frac {8\pi \rho r^{5}}{9}}

.

L'élément d'aire de la sphère de rayon $r$ dans les coordonnées latitude-longitude est $\mathrm {d} \sigma =r^{2}\cos \theta \mathrm {d} \theta d\phi$ . On en déduit que l'aire d'un fuseau (portion limitée par deux demi-cercles joignant les pôles et faisant un angle $\alpha$ exprimé en radians) est $2\alpha r^{2}$ .

Cela permet aussi de calculer l'aire d'une calotte sphérique (on dit aussi segment de sphère), c’est-à-dire d'une portion de sphère limitée par deux plans parallèles qui intersectent la sphère (ou lui sont tangents). On trouve $2\pi rh$ où $h$ désigne la distance des deux plans : l'aire est la même que celle d'un cylindre circulaire de même hauteur tangent à la sphère (cylindre circonscrit). Ce résultat remarquable est démontré par Archimède dans son traité De la sphère et du cylindre^[1]. Selon Cicéron, Archimède aurait demandé que soient gravés sur son tombeau, en mémoire de ce résultat, une sphère et son cylindre circonscrit^[2].

Le cylindre circonscrit à une sphère donnée a un volume égal à 1,5 fois le volume de la sphère.

La sphère a la plus petite aire parmi les surfaces renfermant un volume donné et renferme le volume le plus élevé parmi les surfaces d'une aire donnée. Elle est la réponse à la question d'isopérimétrie pour l'espace euclidien de dimension 3. Pour cette raison, la sphère apparaît dans la nature, par exemple les bulles et gouttes d'eau (en l'absence de gravité) sont des sphères car la tension superficielle essaie de minimiser l'aire.

Sphère circonscrite à un tétraèdre

Par quatre points non coplanaires A, B, C et D (ABCD est un tétraèdre non aplati), il passe une seule et unique sphère, appelée sa sphère circonscrite.

Les plans médiateurs des arêtes du tétraèdre se coupent au centre de la sphère.

Développement

On peut démontrer que la sphère est une surface non développable. Il n'existe pas de patron de la sphère. Néanmoins il est possible, en pratique, d'obtenir des surfaces développables approchant la sphère très fidèlement, c'est le cas de tous les ballons cousus. Voir : ballon de football (icosaèdre tronqué), ballon de volley-ball, et ballon fantaisie (en fuseaux de pôle à pôle.)

Notez que la pression interne gauchit les surfaces et fidélise l'approche… Plus on gonfle plus la sphère s'approche de la perfection.

Sphères euclidiennes de dimensions supérieures

Article détaillé : n-sphère.

On peut généraliser le concept de sphère à un espace de dimension entière quelconque. Pour tout entier naturel n, une n-sphère de rayon r est l'ensemble des points de l'espace euclidien à (n+1) dimensions qui sont à distance fixée r d'un point de cet espace (r est un réel strictement positif). Par exemple :

une 0-sphère est la paire des points extrémités de l'intervalle [−r, r] de la ligne réelle ;
une 1-sphère est un cercle de rayon r ;
une 2-sphère est une sphère ordinaire.

Les sphères de dimension n > 2 sont parfois appelées hypersphères. La n-sphère de rayon 1 est notée Sⁿ.

Article détaillé : calcul du volume de l'hypersphère.

L'aire d'une (n−1)-sphère de rayon r est

2{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}r^{n-1}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n-1}}{2\cdot 4\cdots (n-2)}},&{\text{si }}n{\text{ est pair ;}}\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1\cdot 3\cdots (n-2)}},&{\text{si }}n{\text{ est impair}},\end{cases}}

où Γ est la fonction gamma d'Euler

et le volume d'une n-boule de rayon r est égal au produit de cette aire par ${r \over n}$ , donc à

{\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n}}{2\cdot 4\cdots n}},&{\text{si }}n{\text{ est pair ;}}\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n}}{1\cdot 3\cdots n}},&{\text{si }}n{\text{ est impair}}.\end{cases}}

.

La sphère comme espace topologique

Selon le contexte, en particulier en topologie, le mot sphère (ou n-sphère si on veut rappeler la dimension) peut être utilisé pour désigner n'importe quel espace topologique homéomorphe à une n-sphère au sens défini dans la section précédente^[3].

La caractéristique d'Euler d'une n-sphère vaut 2 si n est pair, et 0 si n est impair.

Notes et références

Notes

↑ Lire en ligne.
↑ Voir par exemple l'encyclopédie Diderot, Article Syracuse, sur Wikisource.
↑ (en) Herbert Seifert et William Threlfall (de), A Textbook of Topology, Academic Press, 1980 (ISBN 978-0-12634850-7), p. 53.

Références

(en) David Hilbert et Stephan Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination [détail des éditions]
Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions] Nathan, 1990, chap. 18

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

A. Javary, Traité de géométrie descriptive, Cônes et cylindres, sphère et surfaces du second degré, 1881 (sur Gallica)
Matthieu Aubry, Le chemin le plus court sur la sphère
Xavier Hubaut, Mathématique du secondaire – Cône et sphère
Xavier Hubaut, Voyager sur une sphère

Portail de la géométrie

[1] Lire en ligne.

[2] Voir par exemple l'encyclopédie Diderot, Article Syracuse, sur Wikisource.

[3] (en) Herbert Seifert et William Threlfall (de), A Textbook of Topology, Academic Press, 1980 (ISBN 978-0-12634850-7), p. 53.

[1]

[2]

[3]

v · m Solides géométriques
Solides de Platon (5)	Tétraèdre régulier Cube Octaèdre régulier Dodécaèdre régulier Icosaèdre régulier
Solides d'Archimède (13)	Tétraèdre tronqué Cube tronqué Octaèdre tronqué Dodécaèdre tronqué Icosaèdre tronqué Cuboctaèdre Cube adouci Icosidodécaèdre Dodécaèdre adouci Petit rhombicuboctaèdre Cuboctaèdre tronqué Petit rhombicosidodécaèdre Icosidodécaèdre tronqué
Solides de Kepler-Poinsot (4)	Petit dodécaèdre étoilé Grand dodécaèdre étoilé Grand dodécaèdre Grand icosaèdre
Solides de Catalan (13)	Triakioctaèdre Tétrakihexaèdre Triakitétraèdre Pentakidodécaèdre Triaki-icosaèdre Dodécaèdre rhombique Icositétraèdre pentagonal Triacontaèdre rhombique Hexacontaèdre pentagonal Icositétraèdre trapézoïdal Hexakioctaèdre Hexacontaèdre trapézoïdal Hexaki-icosaèdre
Solides de révolution	Boule Ellipsoïde de révolution Paraboloïde de révolution Hyperboloïde de révolution Tore Tonneau Cône de révolution Cylindre de révolution
Composés polyédriques	Composé de deux tétraèdres Octangle étoilé
Solides de Johnson (92) voir Modèle:Palette Solides de Johnson

v · m Quadriques
Quadriques impropres	Cône Cône elliptique (en) Cône de révolution Cylindre Cylindre elliptique Cylindre de révolution Cylindre hyperbolique Cylindre parabolique
Quadriques propres	Ellipsoïde Ellipsoïde de révolution ou sphéroïde Sphère Sphéroïde de Maclaurin Hyperboloïde Hyperboloïde à une nappe Hyperboloïde à deux nappes Paraboloïde Paraboloïde hyperbolique Paraboloïde elliptique Paraboloïde circulaire
Applications	Modèle ellipsoïdal de la Terre Structure hyperboloïde Miroirs sphériques, paraboliques, elliptiques et hyperboliques Miroir sphérique Miroir cylindro-parabolique Lentilles sphériques et cylindriques Lentille asphérique Lentille à gradient d'indice