De la sphère et du cylindre

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De la sphère et du cylindre (c. 225 av. J.-C.) est une œuvre écrite par Archimède en deux volumes[1]. Dans ce traité, il est le premier à décrire comment calculer l'aire et le volume d'une sphère[2], et les aire et volume d'un cylindre[3].

Contenu[modifier | modifier le code]

Dans ce traité, Archimède montre que l'aire d'un cylindre est :

A = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r ( r + h ).

et que son volume est :

V = \pi r^2 h.[4]

Il montre aussi que l'aire d'une sphère est égale à quatre fois l'aire du disque délimité par son grand cercle, c'est-à-dire en mathématiques modernes que l'aire d'une sphère est :

4\pi r^2.\,

Il montre que le volume de la boule est égal aux deux tiers du volume du cylindre de révolution circonscrit à la sphère (en) qui la borde. Le volume de la boule est donc égal à :

\frac{4}{3}\pi r^3.

Pour trouver cette formule, Archimède a utilisé une moitié de polygone inscrite dans un demi-cercle ; puis il a effectué des rotations de ces deux figures pour obtenir un ensemble de troncs dans une sphère. C'est cet ensemble de troncs qui lui permet de déterminer le volume[5]. Cette méthode a été simplifiée par les mathématiques modernes en utilisant la notion de limites, notion qui n'existait pas à l'époque d'Archimède.

Archimède est si fier de ce dernier résultat qu'il demande que soit gravé sur sa tombe le dessin d'une sphère inscrite dans un cylindre. Le philosophe romain Marcus Tullius Ciceron découvre plusieurs années après la tombe qui a été envahie par la végétation[6].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « On the Sphere and Cylinder » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) William Dunham, Journey Through Genius, John Wiley & Sons,‎ , 1e éd. (ISBN 0-471-50030-5), p. 99
  2. Plus exactement : l'aire d'une sphère et le volume de la boule qu'elle délimite.
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Sphere », MathWorld.
  4. (en) William Dunham, The Mathematical Universe, John Wiley & Sons,‎ , 1e éd. (ISBN 0-471-53656-3), p. 227.
  5. Dunham 1994, p. 226.
  6. (en) Britannica Online, « Archimedes: His Works », Encyclopædia Britannica,‎ (consulté le 26 juin 2008).