Solide de Catalan

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Un dodécaèdre rhombique

En mathématiques, un solide de Catalan ou dual archimédien, est un polyèdre dual d'un solide d'Archimède. Les solides de Catalan ont été nommés ainsi en l'honneur du mathématicien belge Eugène Catalan qui fut le premier à les décrire en 1865.

Les solides de Catalan sont tous convexes. Ils sont de faces uniformes mais non de sommets uniformes, en raison du fait que les duaux archimédiens sont de sommets uniformes et non de faces uniformes. À la différence des solides de Platon et des solides d'Archimède, les faces des solides de Catalan ne sont pas des polygones réguliers. Par contre, les figures de sommets des solides de Catalan sont régulières, et ont des angles diédres égaux. De plus, deux des solides de Catalan ont des arêtes uniformes : le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique. Ceux-ci sont les duaux des deux solides d'Archimède quasi-réguliers.

Comme leurs partenaires duaux archimédiens, il existe deux solides de Catalan chiraux, ou gyroèdres : l'icositétraèdre pentagonal et l'hexacontaèdre pentagonal. Chacun d'eux a deux formes énantiomorphes. Sans compter ces versions énantiomorphes, il existe 13 solides de Catalan au total.

Nom(s) Image Dual (solide d'Archimède) Faces Arêtes Sommets Polygone de face Symétrie
Triakitétraèdre Triakitétraèdre
Tétraèdre tronqué 12 18 8 Triangle isocèle
V3,6,6
Td
Dodécaèdre rhombique Dodécaèdre rhombique
Cuboctaèdre 12 24 14 Losange
V3,4,3,4
Oh
Triakioctaèdre Triakioctaèdre
Cube tronqué 24 36 14 Triangle isocèle
V3,8,8
Oh
Tétrakihexaèdre Tétrakihexaèdre
Octaèdre tronqué 24 36 14 Triangle isocèle
V4,6,6
Oh
Icositétraèdre trapézoïdal Icositétraèdre trapézoïdal Petit rhombicuboctaèdre 24 48 26 Trapèze
V3,4,4,4
Oh
Hexakioctaèdre
Hexakioctaèdre
Grand rhombicuboctaèdre 48 72 26 Triangle scalène
V4,6,8
Oh
Icositétraèdre pentagonal
(deux formes chirales)
Icositétraèdre pentagonal (Sah)
Icositétraèdre pentagonal (Sh)
Cube adouci 24 60 38 Pentagone irrégulier
V3,3,3,3,4
O
Triacontaèdre rhombique Triacontaèdre rhombique
Icosidodécaèdre 30 60 32 Losange
V3,5,3,5
Ih
Triaki-icosaèdre Triaki icosaèdre
Dodécaèdre tronqué 60 90 32 Triangle isocèle
V3,10,10
Ih
Pentakidodécaèdre Pentakidodécaèdre
Icosaèdre tronqué 60 90 32 Triangle isocèle
V5,6,6
Ih
Hexacontaèdre trapézoïdal Hexacontaèdre trapézoïdal
Petit rhombicosidodécaèdre 60 120 62 Trapèze
V3,4,5,4
Ih
Hexaki icosaèdre
Hexaki icosaèdre
Grand rhombicosidodécaèdre 120 180 62 Triangle scalène
V4,6,10
Ih
Hexacontaèdre pentagonal
(deux formes chirales)
Hexacontaèdre pentagonal (Sha)
Hexacontaèdre pentagonal (Sa)
Dodécaèdre adouci 60 150 92 Pentagone irrégulier
V3,3,3,3,5
I

Références[modifier | modifier le code]

  • Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
  • Alan Holden Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991.
  • Magnus Wenninger Dual Models Cambridge, England: Cambridge University Press, 1983.
  • Robert Williams The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc, 1979, (ISBN 0-486-23729-X)

Liens externes[modifier | modifier le code]