La démonstration mathématique suivante pour le calcul du volume de l'hypersphère dépend des définitions précises de la sphère boule intérieur d'une sphère est le volume de la boule délimitée par la sphère.
On effectue ici en coordonnées cartésiennes orthonormales dans l'espace euclidien .
On note
V
(
n
)
[
r
]
{\displaystyle V^{(n)}[r]}
r en dimension n ≥ 1.
Alors :
V
(
1
)
[
r
]
=
2
r
{\displaystyle V^{(1)}[r]=2r}
parce que c'est la longueur d'un segment deux fois plus long que le rayon, c'est-à-dire
{
x
∈
R
:
|
x
|
≤
r
}
=
[
−
r
,
r
]
.
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :|x|\leq r\}=[-r,r].}
La sphère de dimension 0 qui borde cette boule est constituée des deux points r et –r .
Pour tout n ≥ 1, on a (d'après le théorème de Fubini )[ 1]
V
(
n
+
1
)
[
r
]
=
∫
−
r
r
V
(
n
)
[
r
2
−
x
2
]
d
x
.
{\displaystyle V^{(n+1)}[r]=\int _{-r}^{r}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\right]~{\rm {d}}x.}
On montre premièrement par récurrence sur n que le volume d'une n -boule est proportionnel à la n -ième puissance de son rayon. L'égalité a déjà été établie en dimension 1. On suppose maintenant que ce soit vrai en dimension n , c'est-à-dire
V
(
n
)
[
r
]
=
r
n
V
(
n
)
[
1
]
.
{\displaystyle V^{(n)}[r]=r^{n}V^{(n)}[1].}
Alors,
V
(
n
+
1
)
[
r
]
=
∫
−
r
r
V
(
n
)
[
r
2
−
x
2
]
d
x
=
r
∫
−
1
1
V
(
n
)
[
r
2
−
(
r
x
)
2
]
d
x
=
r
∫
−
1
1
V
(
n
)
[
r
(
1
−
x
2
)
]
d
x
=
r
∫
−
1
1
r
n
V
(
n
)
[
(
1
−
x
2
)
]
d
x
=
r
n
+
1
V
(
n
+
1
)
[
1
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}V^{(n+1)}[r]&=\int _{-r}^{r}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\right]~{\rm {d}}x\\&=r\int _{-1}^{1}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-(rx)^{2}}}\,\right]~{\rm {d}}x\\&=r\int _{-1}^{1}V^{(n)}\left[r{\sqrt {(1-x^{2})}}\,\right]~{\rm {d}}x\\&=r\int _{-1}^{1}r^{n}V^{(n)}\left[{\sqrt {(1-x^{2})}}\,\right]~{\rm {d}}x\\&=r^{n+1}V^{(n+1)}[1].\end{aligned}}}
On a établi que pour tout n ≥ 1, le volume d'une n -boule est proportionnel à la n -ième puissance de son rayon ; c'est-à-dire que si on note
V
(
n
)
[
1
]
{\displaystyle V^{(n)}[1]}
n -boule unitaire, on a :
V
(
n
)
[
r
]
=
r
n
V
(
n
)
[
1
]
,
{\displaystyle V^{(n)}[r]=r^{n}V^{(n)}[1],}
V
(
n
+
1
)
[
1
]
=
∫
−
1
1
(
1
−
x
2
)
n
V
(
n
)
[
1
]
d
x
=
V
(
n
)
[
1
]
∫
−
1
1
(
1
−
x
2
)
n
d
x
.
{\displaystyle V^{(n+1)}[1]=\int _{-1}^{1}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\,\right)^{n}V^{(n)}[1]~{\rm {d}}x=V^{(n)}[1]\int _{-1}^{1}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\,\right)^{n}~{\rm {d}}x.}
Dans le cas de
V
(
2
)
[
1
]
{\displaystyle V^{(2)}[1]}
[ 2]
V
(
2
)
[
1
]
=
V
(
1
)
[
1
]
∫
−
1
1
1
−
x
2
d
x
=
2
x
1
−
x
2
+
arcsin
x
2
|
x
=
−
1
1
=
π
,
{\displaystyle V^{(2)}[1]=V^{(1)}[1]\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}~{\rm {d}}x=2\left.{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x}{2}}\right|_{x=-1}^{1}=\pi ,}
qui est « l'aire intérieure du cercle unité », ou plus exactement, l'aire du disque borné par ce cercle. On en déduit facilement :
V
(
3
)
[
1
]
=
V
(
2
)
[
1
]
∫
−
1
1
(
1
−
x
2
)
d
x
=
4
3
π
.
{\displaystyle V^{(3)}[1]=V^{(2)}[1]\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)~{\rm {d}}x={\frac {4}{3}}\pi .}
Ceci est « le volume intérieur de la sphère unité », ou plus exactement, le volume de la boule délimitée par cette sphère.
Visualisation des fonctions intégrées ici. On généralise cette démonstration au cas de la boule en dimension supérieure :
V
(
n
+
1
)
[
1
]
=
V
(
n
)
[
1
]
∫
−
1
1
(
1
−
x
2
)
n
/
2
d
x
=
V
(
n
)
[
1
]
⋅
2
∫
0
1
(
1
−
x
2
)
n
/
2
d
x
.
{\displaystyle V^{(n+1)}[1]=V^{(n)}[1]\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}~{\rm {d}}x=V^{(n)}[1]\cdot 2\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}~{\rm {d}}x.}
Les hyperboules se pincent de plus en plus comme la dimension croît. Plus précisément, puisqu'on intègre en coordonnées cartésiennes, et que les boîtes rectangulaires circonscrites aux boules s'étendent de plus en plus hors des boules comme la dimension croît, les boules paraissent de plus en plus pincées au point de vue des coordonnées choisies.
On a ainsi :
V
(
n
+
1
)
[
1
]
=
V
(
n
)
[
1
]
2
∫
0
1
(
1
−
x
2
)
n
/
2
d
x
=
u
←
x
2
V
(
n
)
[
1
]
∫
0
1
(
1
−
u
)
n
/
2
u
−
1
/
2
d
u
=
B
(
n
2
+
1
,
1
2
)
,
{\displaystyle V^{(n+1)}[1]=V^{(n)}[1]~2\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}~{\rm {d}}x\ {\overset {u\leftarrow x^{2}}{=}}\ V^{(n)}[1]\int _{0}^{1}(1-u)^{n/2}u^{-1/2}~{\rm {d}}u=\mathrm {B} \left({\frac {n}{2}}+1,{\frac {1}{2}}\right),}
où la fonction B est la fonction bêta , qui peut être exprimée au moyen de la fonction gamma :
V
(
n
+
1
)
[
1
]
=
V
(
n
)
[
1
]
Γ
(
n
2
+
1
)
Γ
(
1
2
)
Γ
(
n
2
+
3
2
)
=
V
(
n
)
[
1
]
Γ
(
n
2
+
1
)
Γ
(
1
2
)
Γ
(
n
+
1
2
+
1
)
.
{\displaystyle V^{(n+1)}[1]=V^{(n)}[1]{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}=V^{(n)}[1]{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}+1\right)}}.}
À partir de la relation
Γ
(
1
2
)
=
π
,
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}
n ≥ 1
V
(
n
)
[
1
]
=
π
n
/
2
Γ
(
n
2
+
1
)
.
{\displaystyle V^{(n)}[1]={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}.}
Et donc finalement, pour un rayon
r
{\displaystyle r}
V
(
n
)
[
r
]
=
π
n
/
2
r
n
Γ
(
n
2
+
1
)
=
{
π
n
/
2
r
n
(
n
/
2
)
!
si
n
est pair,
2
n
(
n
−
1
2
)
!
π
(
n
−
1
)
/
2
r
n
n
!
=
2
(
n
+
1
)
/
2
π
(
n
−
1
)
/
2
r
n
1
⋅
3
⋅
5
⋅
…
n
si
n
est impair.
{\displaystyle V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}r^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {\pi ^{n/2}r^{n}}{(n/2)!}}}&{\mbox{si }}n{\mbox{ est pair,}}\\[4pt]{\displaystyle {\frac {2^{n}\ ({\frac {n-1}{2}})!\ \pi ^{(n-1)/2}r^{n}}{n!}}={\frac {2^{(n+1)/2}\ \pi ^{(n-1)/2}r^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ \ldots n}}}&{\mbox{si }}n{\mbox{ est impair.}}\end{cases}}}
Par « désintégration de mesure »[ 3] hypersphère de dimension n – 1 est la dérivée , par rapport à son rayon, du volume de la boule de dimension n qu'elle borde.
Puisque le volume de la boule de dimension n est :
V
(
n
)
[
r
]
=
π
n
/
2
r
n
Γ
(
n
2
+
1
)
,
{\displaystyle V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}r^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}
alors l'aire de l'hypersphère de dimension n – 1 qui la borde est :
S
(
n
−
1
)
[
r
]
=
∂
∂
r
V
(
n
)
[
r
]
=
π
n
/
2
n
r
n
−
1
Γ
(
n
2
+
1
)
=
n
r
.
V
(
n
)
[
r
]
{\displaystyle S^{(n-1)}[r]={\frac {\partial }{\partial r}}V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}nr^{n-1}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {n}{r}}.V^{(n)}[r]}
Et comme
Γ
(
n
2
+
1
)
=
n
2
Γ
(
n
2
)
{\displaystyle {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}={\frac {n}{2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}
S
(
n
−
1
)
[
r
]
=
2
π
n
/
2
r
n
−
1
Γ
(
n
2
)
.
{\displaystyle S^{(n-1)}[r]={\frac {2\pi ^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}
À partir de la récurrence d'ordre 1 :
V
(
n
+
1
)
[
1
]
=
V
(
n
)
[
1
]
B
(
n
2
+
1
,
1
2
)
,
{\displaystyle V^{(n+1)}[1]=V^{(n)}[1]~\mathrm {B} \left({\frac {n}{2}}+1,{\frac {1}{2}}\right),~}
utilisée plus haut directement pour exprimer V (n )
V
(
n
)
[
1
]
=
V
(
n
−
2
)
[
1
]
B
(
n
+
1
2
,
1
2
)
B
(
n
2
,
1
2
)
{\displaystyle V^{(n)}[1]=V^{(n-2)}[1]~\mathrm {B} \left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\mathrm {B} \left({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}}\right)~}
qui, d'après les propriétés de la fonction bêta , se simplifie en :
V
(
n
)
[
1
]
=
2
π
n
V
(
n
−
2
)
[
1
]
.
{\displaystyle V^{(n)}[1]={\frac {2\pi }{n}}~V^{(n-2)}[1].}
Par récurrence (en séparant les cas n
V
(
n
)
[
1
]
=
{
∏
k
=
0
n
2
−
1
2
π
n
−
2
k
si
n
est pair,
1
π
∏
k
=
0
n
−
1
2
2
π
n
−
2
k
si
n
est impair.
{\displaystyle V^{(n)}[1]={\begin{cases}{\displaystyle \prod _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{2\pi \over n-2k}}&{\mbox{si }}n{\mbox{ est pair,}}\\[4pt]{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\prod _{k=0}^{n-1 \over 2}{2\pi \over n-2k}}&{\mbox{si }}n{\mbox{ est impair.}}\end{cases}}}
Par ailleurs, une manière plus directe[ 4]
V
(
n
)
[
1
]
=
∫
x
2
+
y
2
≤
1
V
(
n
−
2
)
[
1
−
x
2
−
y
2
]
d
x
d
y
=
V
(
n
−
2
)
[
1
]
∫
x
2
+
y
2
≤
1
(
1
−
x
2
−
y
2
)
(
n
−
2
)
/
2
d
x
d
y
=
2
π
n
V
(
n
−
2
)
[
1
]
,
{\displaystyle V^{(n)}[1]=\int _{x^{2}+y^{2}\leq 1}V^{(n-2)}\left[{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}\right]~\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=V^{(n-2)}[1]\int _{x^{2}+y^{2}\leq 1}(1-x^{2}-y^{2})^{(n-2)/2}~\mathrm {d} x\mathrm {d} y={\frac {2\pi }{n}}~V^{(n-2)}[1],}
la dernière égalité venant du passage en coordonnées polaires :
∫
x
2
+
y
2
≤
1
(
1
−
x
2
−
y
2
)
(
n
−
2
)
/
2
d
x
d
y
=
2
π
∫
0
1
(
1
−
r
2
)
(
n
−
2
)
/
2
r
d
r
=
π
∫
0
1
u
(
n
/
2
)
−
1
d
u
=
2
π
n
.
{\displaystyle \int _{x^{2}+y^{2}\leq 1}(1-x^{2}-y^{2})^{(n-2)/2}~\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=2\pi \int _{0}^{1}(1-r^{2})^{(n-2)/2}~r~\mathrm {d} r=\pi \int _{0}^{1}u^{(n/2)-1}~\mathrm {d} u={\frac {2\pi }{n}}.}
Cette méthode d'intégration peut être généralisée aux espaces Lp (ce qui précède correspond au cas p = 2). En effet, on a une relation de récurrence pour la boule unité de
ℓ
n
p
,
{\displaystyle \ell _{n}^{p},}
V
(
n
+
1
)
[
1
]
=
V
(
n
)
[
1
]
∫
−
1
1
(
1
−
|
x
|
p
)
n
/
p
d
x
,
{\displaystyle V^{(n+1)}[1]=V^{(n)}[1]\int _{-1}^{1}{\big (}1-|x|^{p}{\big )}^{n/p}~{\rm {d}}x,}
de laquelle on peut retrouver la formule :
V
(
n
)
[
r
]
=
[
2
Γ
(
1
p
+
1
)
r
]
n
Γ
(
n
p
+
1
)
{\displaystyle V^{(n)}[r]={\frac {\left[2\,\Gamma \left({\frac {1}{p}}+1\right)r\right]^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{p}}+1\right)}}}
pour le volume de la boule de rayon r dans
ℓ
n
p
,
{\displaystyle \ell _{n}^{p},}
Cette généralisation a des applications en théorie de l'information , en particulier pour le codage de l'information .
↑ (en) [PDF] A. E. Lawrence, The volume of an n -dimensional hypersphere université de Loughborough .↑ (en) Samuel M. Selby, éditeur. Standard Mathematical Tables, 18e édition, The Chemical Rubber Co., Cleveland, Ohio, 1970.↑ (en) D. Leao Jr. et al. , « Regular conditional probability, disintegration of probability and Radon spaces », Proyecciones vol. 23, no 1, mai 2004 , p. 15–29 (lire en ligne [PDF] ) ↑ François Laudenbach , Calcul différentiel et intégral , Éditions École Polytechnique, 2000 (ISBN 978-2-73020724-9 , p. 176 . 
![{\displaystyle V^{(n)}[r]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9985b6af5f02c7ba11316eac4407086b361cf1a)
![{\displaystyle V^{(1)}[r]=2r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71f9ca407510b9644585aa75fe9e2f90e3f7c59)
![{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :|x|\leq r\}=[-r,r].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/932be935f20acc56acbedc5ee619d17db604ebd2)
![{\displaystyle V^{(n+1)}[r]=\int _{-r}^{r}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\right]~{\rm {d}}x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939ce2996213c846defe8330872d9425ce37c86e)
![{\displaystyle V^{(n)}[r]=r^{n}V^{(n)}[1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cca61a3193e807d404d273890e0e5835489b1b7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}V^{(n+1)}[r]&=\int _{-r}^{r}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\right]~{\rm {d}}x\\&=r\int _{-1}^{1}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-(rx)^{2}}}\,\right]~{\rm {d}}x\\&=r\int _{-1}^{1}V^{(n)}\left[r{\sqrt {(1-x^{2})}}\,\right]~{\rm {d}}x\\&=r\int _{-1}^{1}r^{n}V^{(n)}\left[{\sqrt {(1-x^{2})}}\,\right]~{\rm {d}}x\\&=r^{n+1}V^{(n+1)}[1].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ca22679994be0ccb2b9adb07d6032e0ea2844f)
![{\displaystyle V^{(n)}[1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc63df8fcdc16e3b6981cc4e3468bbc0070590f1)
![{\displaystyle V^{(n)}[r]=r^{n}V^{(n)}[1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e64f5ff0028c334d783835fdf1b785c81e07695)
![{\displaystyle V^{(n+1)}[1]=\int _{-1}^{1}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\,\right)^{n}V^{(n)}[1]~{\rm {d}}x=V^{(n)}[1]\int _{-1}^{1}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\,\right)^{n}~{\rm {d}}x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d68a36b44ca134015c9d66c0ecbc91435112c746)
![{\displaystyle V^{(2)}[1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3fa11a272750297bbdcbf71a70ea1348c1ee4b)
![{\displaystyle V^{(2)}[1]=V^{(1)}[1]\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}~{\rm {d}}x=2\left.{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x}{2}}\right|_{x=-1}^{1}=\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab1baebca38baf2ff7ace801d4e873ffde5b7f9d)
![{\displaystyle V^{(3)}[1]=V^{(2)}[1]\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)~{\rm {d}}x={\frac {4}{3}}\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215cc59eff0a27e17be9306c567da2c6f6063fb4)
![{\displaystyle V^{(n+1)}[1]=V^{(n)}[1]\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}~{\rm {d}}x=V^{(n)}[1]\cdot 2\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}~{\rm {d}}x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a288f693dfbf058c795a841a00ac53f19c685c)
![{\displaystyle V^{(n+1)}[1]=V^{(n)}[1]~2\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}~{\rm {d}}x\ {\overset {u\leftarrow x^{2}}{=}}\ V^{(n)}[1]\int _{0}^{1}(1-u)^{n/2}u^{-1/2}~{\rm {d}}u=\mathrm {B} \left({\frac {n}{2}}+1,{\frac {1}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b66807e168827c49e4150af7449d57fbea05fe5)
![{\displaystyle V^{(n+1)}[1]=V^{(n)}[1]{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}=V^{(n)}[1]{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}+1\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e82a2bb6aa06d9d1a6a64e8af639599dca7ec8e5)
![{\displaystyle V^{(n)}[1]={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5d95f2cfbf6fdcb489469770eef045da5e2df1)
![{\displaystyle V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}r^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {\pi ^{n/2}r^{n}}{(n/2)!}}}&{\mbox{si }}n{\mbox{ est pair,}}\\[4pt]{\displaystyle {\frac {2^{n}\ ({\frac {n-1}{2}})!\ \pi ^{(n-1)/2}r^{n}}{n!}}={\frac {2^{(n+1)/2}\ \pi ^{(n-1)/2}r^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ \ldots n}}}&{\mbox{si }}n{\mbox{ est impair.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10bbd38e2cc005eea466d0cf767ca22bc3ef9bd)
![{\displaystyle V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}r^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4acfc413a3e529dbabd6de330c9f7130511fbe9a)
![{\displaystyle S^{(n-1)}[r]={\frac {\partial }{\partial r}}V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}nr^{n-1}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {n}{r}}.V^{(n)}[r]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51406c6e9a75fb3834ba3314a5b61903fd226c56)
![{\displaystyle S^{(n-1)}[r]={\frac {2\pi ^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de672543278a5c592def770bb9a2cf9d24e310c1)
![{\displaystyle V^{(n+1)}[1]=V^{(n)}[1]~\mathrm {B} \left({\frac {n}{2}}+1,{\frac {1}{2}}\right),~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3867628328baea50444c57431da71adf3e42d005)
![{\displaystyle V^{(n)}[1]=V^{(n-2)}[1]~\mathrm {B} \left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\mathrm {B} \left({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}}\right)~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85083b44c6593d461786f7a23cc05ed56a274da2)
![{\displaystyle V^{(n)}[1]={\frac {2\pi }{n}}~V^{(n-2)}[1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961a3a150b452312d8884637699ef8039078491d)
![{\displaystyle V^{(n)}[1]={\begin{cases}{\displaystyle \prod _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{2\pi \over n-2k}}&{\mbox{si }}n{\mbox{ est pair,}}\\[4pt]{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\prod _{k=0}^{n-1 \over 2}{2\pi \over n-2k}}&{\mbox{si }}n{\mbox{ est impair.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bb19954e284982a07fac5d27e132b5b3b23196)
![{\displaystyle V^{(n)}[1]=\int _{x^{2}+y^{2}\leq 1}V^{(n-2)}\left[{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}\right]~\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=V^{(n-2)}[1]\int _{x^{2}+y^{2}\leq 1}(1-x^{2}-y^{2})^{(n-2)/2}~\mathrm {d} x\mathrm {d} y={\frac {2\pi }{n}}~V^{(n-2)}[1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5172dc3ac86ec80f9fda2c54da434f9a5458a8c5)
![{\displaystyle V^{(n+1)}[1]=V^{(n)}[1]\int _{-1}^{1}{\big (}1-|x|^{p}{\big )}^{n/p}~{\rm {d}}x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631e34147c3ec187d236087ece479ae7be5a2b89)
![{\displaystyle V^{(n)}[r]={\frac {\left[2\,\Gamma \left({\frac {1}{p}}+1\right)r\right]^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{p}}+1\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3979ba7d28314717316cb5fc275fee14431eae)
