Quadrique

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En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une quadrique, ou surface quadratique, est une surface de l'espace euclidien de dimension 3, lieu des points vérifiant une équation cartésienne de degré 2

Ax^2+By^2+Cz^2+2Dyz+2Exz+2Fxy+Gx+Hy+Iz+J=0

les coefficients A à J étant réels, avec A,B,C,D,E,F non tous nuls.

Plus généralement, on peut considérer les quadriques dans le cadre des espaces affines, de dimension 3 ou plus. Ce sont alors des hypersurfaces, lieu d'annulation d'un polynôme de degré 2. On peut également les étudier dans le cadre de la géométrie projective, qui simplifie et unifie complètement les résultats. On peut enfin prendre un autre corps de base que celui des réels.

Classification[modifier | modifier le code]

Présentation des principales quadriques[modifier | modifier le code]

Les quadriques non dégénérées[1] sont décrites ci-dessous à partir de leurs équations réduites dans un repère orthonormé convenable.

L'ellipsoïde \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}-1 = 0 \, , Quadric Ellipsoid.jpg
L'hyperboloïde à une nappe (H1) \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}-1 = 0 \, , Quadric Hyperboloid 1.jpg
L'hyperboloïde à deux nappes (H2) \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} +1 = 0 \, , Quadric Hyperboloid 2.jpg
Le paraboloïde elliptique (PE) \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =z \, , Quadric Elliptic Paraboloid.jpg
Le paraboloïde hyperbolique (PH) \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = z \, , Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg
Le cône à base elliptique \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \, , Quadric Cone.jpg
Le cylindre elliptique \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}-1 = 0 \, , Quadric Elliptic Cylinder.jpg
Le cylindre hyperbolique \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2}-1 = 0 \, , Quadric Hyperbolic Cylinder.jpg
Le cylindre parabolique \displaystyle{x^2 = 2 p y} . Quadric Parabolic Cylinder.jpg

Classification générale[modifier | modifier le code]

L'équation de la surface peut s'écrire :

 Q(x,y,z)+Gx+Hy+Iz+J=0~

Q désigne la forme quadratique

Q(x,y,z)=Ax^2+By^2+Cz^2+2Dyz+2Exz+2Fxy~

de matrice :

M_Q=\begin{pmatrix} A & F & E \\ F & B & D \\ E & D & C\end{pmatrix}

dont les valeurs propres sont toutes réelles puisque cette matrice est symétrique réelle.

La signature de la forme quadratique est le couple (p,q)p est le nombre de valeurs propres strictement positives de Q et q le nombre de valeurs propres strictement négatives. Le rang de Q est alors p+q. Par définition d'une quadrique, le rang de Q ne peut être nul. Le fait que la signature d'une forme quadratique ne dépende pas du choix de la base choisie est démontré par la loi d'inertie de Sylvester.

Lorsque le rang est égal à 3, la quadrique admet un centre de symétrie.

Rang Signature Quadrique non dégénérée Quadrique dégénérée
3 (3,0) ou (0,3) ellipsoïde  \varnothing ou point
(2,1) ou (1,2) hyperboloïde à 1 ou 2 nappes ou cône
2 (2,0) ou (0,2) paraboloïde elliptique ou cylindre elliptique  \varnothing ou droite
(1,1) paraboloïde hyperbolique ou cylindre hyperbolique réunion de deux plans
1 (1,0) ou (0,1) cylindre parabolique  \varnothing ou plan ou réunion de deux plans

Classification en géométrie affine[modifier | modifier le code]

Classification en géométrie projective[modifier | modifier le code]

Quadrique en dimension quelconque[modifier | modifier le code]

Plus généralement, dans un espace de dimension D, si les coordonnées de l'espace sont \{x_1, x_2, \dots, x_D\}, la quadrique générale est une hypersurface définie par l'équation algébrique :

\sum_{i,j=1}^D Q_{i,j} x_i x_j + \sum_{i=1}^D P_i x_i + R = 0

pour un choix spécifique de Q, P et R.

L'équation normalisée pour une quadrique non dégénérée centrée à l'origine est de la forme :

\sum_{i=1}^D \pm {x_i^2 \over a_i^2} =1

Applications[modifier | modifier le code]

En modélisation d'image[modifier | modifier le code]

Pour une surface d'équation z=f(x,y)~, la formule de Taylor-Young fournit une approximation locale de la surface par la quadrique d'équation:


 p (x-a) 
+ q (y-b) 
+ \frac{1}{2} [r (x-a)^2 + 2 s (x-a)(y-b) + t (y-b)^2 ]

avec les notations dites de Monge p=  \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) , q=  \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) , r= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b), t= \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b), s= \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b).

Cette approximation locale est exploitée en modélisation d'images [2], où elle fournit des résultats intéressants[3].

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Non vides, réduites à un point, ou produit de plans.
  2. Sylvie Philipp, Modélisation structurale de la texture. Extraction du grain primaire et de sa règle de placement dans Douzième colloque Gretsi, Juan-les-Pins, 1988, p.590 Lire en ligne
  3. Alaa Mustafa, Contribution à l'étude des courbures discrètes et de leurs applications, Résumé, 2003 Lire en ligne