Dodécaèdre régulier

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Dodécaèdre régulier
Image illustrative de l'article Dodécaèdre régulier

Type Solide platonicien
Faces 12 pentagones
Arêtes 30
Sommets 20
Faces/sommet 3
Caractéristique 2

Symbole de Schläfli {5,3}
Symbole de Wythoff 3
Diagramme de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Dual Icosaèdre
Groupe de symétrie Ih
Volume
Aire
Angle dièdre arccos(–1/5) (116,56505°)
Propriétés Convexe, régulier

Un dodécaèdre régulier est un polyèdre régulier à 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces. Un dodécaèdre régulier est un solide de Platon composé de faces pentagonales, dont 3 se rejoignent à chaque sommet. Son polyèdre dual est l'icosaèdre régulier.

Comme il a cinq sommets par face, et trois faces par sommet, son symbole de Schläfli est {5,3}.

Son groupe de rotations est isomorphe à A5 (le groupe alterné sur 5 éléments). Son groupe d'isométries est le produit de ce sous-groupe par le sous-groupe cyclique {id, s}, où s est une symétrie centrale.

Les 20 points suivants (dans l'espace euclidien usuel ℝ3) sont les sommets d'un dodécaèdre régulier de centre (0, 0, 0) :

est le nombre d'or.

Si a est la longueur d'une arête :

  • le diamètre de la sphère circonscrite (en) est égal à :
     ;
  • l'aire est égale à :
     ;
  • le volume est égal à :

L'angle dièdre entre deux faces vaut :

soit environ 116° 33' 54″.

Le squelette du dodécaèdre régulier — l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes — forme un graphe appelé graphe dodécaédrique.

Symétries[modifier | modifier le code]

Le dodécaèdre admet un centre de symétrie.

Un patron du dodécaèdre régulier.

Le dodécaèdre est conservé par les rotations d’axe passant par son centre et celui d’une de ses faces, de 1/5, 2/5, 3/5, ou 4/5 de tour. Il y a 6 couples de faces opposées, donc 24 rotations de ce type.

Le dodécaèdre est conservé par les symétries d’axe passant par son centre et le milieu de l’une de ses arêtes. Il y a 15 couples d’arêtes opposées, et donc 15 symétries de ce type.

Le dodécaèdre est conservé par les rotations d’axe passant par son centre et l’un de ses sommets, de 1/3 ou 2/3 de tour. Il y a 10 couples de sommets opposés, donc 20 rotations de ce type.

En ajoutant la transformation identique, on a donc recensé 60 rotations conservant le dodécaèdre. Il n’y en a pas d’autres. En effet une rotation est déterminée par la donnée de la transformée d’une arête orientée. Or il y a 30 arêtes avec deux orientations. En conclusion :

Le groupe H des rotations conservant le dodécaèdre comprend 60 éléments.

Par composition avec la symétrie centrale, on obtient 60 autres isométries . En font partie les 15 symétries par rapport à un plan passant par le centre et perpendiculaire à un des 15 axes passant par le centre et le milieu d’une arête.

Le dodécaèdre admet cinq triplets de trois plans orthogonaux passant par le centre et qui sont chacun des plans de symétrie du dodécaèdre.

Le groupe H des rotations conservant le dodécaèdre est isomorphe au groupe A5 des substitutions paires d’un ensemble de cinq éléments.

En effet, toute rotation de H opère une substitution sur l’ensemble des cinq triplets de plans orthogonaux de symétrie. Il est donc isomorphe à un sous-groupe du groupe S5 des substitutions d’un ensemble de cinq éléments. Or le seul sous-groupe de S5 ayant 60 éléments est le groupe A5 des substitutions paires d’un ensemble de cinq éléments.

Construction[modifier | modifier le code]

ConstructionDodecaedre.gif

Construction du dodécaèdre[1].

1. Construction des trois premières faces.

Soit ABCDE un pentagone régulier constituant la première face F1, de centre O et d’arête de longueur a. Dans le plan ABC, la perpendiculaire à AB passant par E coupe la droite OA en H. Dans le plan passant par OAH et perpendiculaire au plan ABC, soit G un des deux points d’intersection de la perpendiculaire au plan en H avec le cercle de centre A et de rayon a. Les points E et G sont dans un même plan perpendiculaire à AB, et à la même distance de AB. Il existe donc une rotation d’axe AB transformant E en G. Soit F3 la transformée de F1 par cette rotation : c’est un pentagone régulier ayant l’arête commune AB avec F1. Soit F2 le symétrique de F3 par rapport au plan OAG : c’est un pentagone régulier ayant l’arête commune AB avec F1 et ayant l’arête commune AG avec F3.

2. Construction des trois faces suivantes.

Soit R la rotation d’axe passant par O et perpendiculaire au plan ABC et de 1/5 de tour. Elle transforme la face F2 en la face F3, car les plans EAG et ABG forment le même angle avec le plan ABC. Soient F4, F5 et F6 les transformées de F2 par les rotations respectives R2, R3 et R4. F2 a une arête commune avec F3, donc F6 a une arête commune avec R4(F3), qui est égal à R5(F2), soit F2.


3. Construction des six dernières faces.

Soit S la rotation d’axe passant par le centre de la face F2 et perpendiculaire à celle -ci, et de 1/5 de tour. Elle transforme les faces F1 et F3 respectivement en les faces F6 et F1, car les plans de F1, de F3 et de F6 forment le même angle avec le plan de F2. Par ailleurs, la face F4 a une arête commune avec F1 et une arête commune avec F3, mais aucune arête commune avec F2. Sa transformée S(F4) a donc une arête commune avec F6 et avec F1, mais aucune avec F2 : c’est donc F5.

Soient F7 et F8 les transformées de F1 par les rotations respectives S2 et S3. F1 ayant une arête commune avec F6, F8 a une arête commune avec F3.

Soient F9, F10 et F11 les transformées de F4 par les rotations respectives S2, S3 et S4. F4 ayant une arête commune avec F5, F11 a une arête commune avec F4.

L’arête de F4 qui n’est commune avec aucune des dix autres faces précédemment définies, est transformée par S, S2, S3 et S4 en une arête respectivement de F5, F9, F10, et F11, qui sont dans un même plan et forment un pentagone régulier, douzième face du dodécaèdre.

Autres dodécaèdres remarquables[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dodécaèdre.

Utilisations[modifier | modifier le code]

Le poète médiéval Jean de Meung (1240-1305) a décrit un jeu de société divinatoire, dénommé « dodechedron », qui utilise un en forme de dodécaèdre régulier, dont chacune des douze faces représente un des signes du Zodiaque[2].

Le Megaminx est un casse-tête dérivé du Rubik's cube en forme de dodécaèdre régulier.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Béla Kerékjártó (en), Les Fondements de la géométrie, Gauthier-Villars, Paris, 1969.
  2. Jean de Meung, Le dodechedron de fortune : livre non moins plaisant et récréatif, que subtil et ingénieux entre tous les jeux et passe temps de fortune, Nicolas Bonfons, Paris, 1577.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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