n-sphère

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Hypersphère dans l'espace euclidien de dimension 3, c'est la sphère au sens usuel.

En géométrie, l'hypersphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension quelconque. Elle constitue un des exemples les plus simples de variété et la sphère de dimension n, ou n-sphère, est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien , notée en général .

Définition[modifier | modifier le code]

Soient E espace euclidien de dimension n+1, A un point de E, et R un nombre réel strictement positif. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R l'ensemble des points M dont la distance à A vaut R.

Étant donné un repère affine orthonormé, quitte à effectuer une translation, ce qui ne change rien aux propriétés géométriques, il est possible de se ramener à une hypersphère centrée en l'origine, dont l'équation s'écrit alors

Par exemple :

  • pour le cas n = 0, l'hypersphère est constituée de deux points d'abscisses respectives R et -R ;
  • pour le cas n = 1, l'hypersphère est un cercle ;
  • pour le cas n = 2, l'hypersphère est une sphère au sens usuel.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Calcul du volume de l'hypersphère.

Volume[modifier | modifier le code]

Le volume (ou, plus précisément, la mesure de Lebesgue) de l'espace délimité par une hypersphère de dimension n-1 et de rayon R, qui est une boule euclidienne de dimension n, vaut :

désigne la fonction gamma. En particulier, on a :

n pair n impair

Le tableau suivant donne les valeurs du volume des 8 premières boules de dimension n et de rayon 1 :

n Valeur du volume
exacte approchée
1 2
2 3,14159
3 4,18879
4 4,93480
5 5,26379
6 5,16771
7 4,72478
8 4,05871

Le volume d'une telle boule est maximal pour n=5. Pour n>5, le volume est décroissant quand n augmente et sa limite à l'infini est nulle :

L'hypercube circonscrit à l'hypersphère unité possède des arêtes de longueur 2 et un volume 2n ; le rapport entre les volumes d'une boule et de l'hypercube inscrit est décroissant en fonction de n.

Aire[modifier | modifier le code]

L'aire de l'hypersphère de dimension n-1 et de rayon R peut être déterminée en prenant la dérivée par rapport au rayon R du volume Vn :

La n-sphère unité a donc pour aire :

Le tableau suivant donne les valeurs de l'aire des 7 premières n-sphères de rayon 1 :

n Aire de
exacte approchée
1 6,28318
2 12,56637
3 19,73920
4 26,31894
5 31,00627
6 33,07336
7 32,46969

L'aire de la n-sphère unité est maximale pour n=6. Pour n>6, l'aire est décroissante quand n augmente et sa limite à l'infini est nulle :

Articles connexes[modifier | modifier le code]