Octaèdre tronqué

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Octaèdre tronqué
Description de l'image truncatedoctahedron.gif.
Faces Arêtes Sommets
14 (8 hexagones et 6 carrés) 36 24 de degré 3
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Type Solide d'Archimède
Caractéristique 2
Propriétés Semi-régulier et convexe, zonoèdre
Dual Tétrakihexaèdre
Développement de l'octaèdre tronqué.

L'octaèdre tronqué, ou tétrakaidécaèdre d'Archimède[1], est un polyèdre possédant 8 faces hexagonales régulières, 6 faces carrées, 24 sommets identiques et 36 arêtes égales. Ses faces étant des polygones réguliers se rencontrant en des sommets identiques, l'octaèdre tronqué est un solide d'Archimède. Chaque face ayant un centre de symétrie, c'est aussi un zonoèdre.

Coordonnées et permutations[modifier | modifier le code]

Toutes les permutations de (0, ±1, ±2) sont des coordonnées cartésiennes des sommets d'un octaèdre tronqué centré à l'origine. Les sommets sont aussi les coins de 12 rectangles dont les longueurs sont parallèles aux axes de coordonnées.

L'octaèdre tronqué peut aussi être représenté par plus de coordonnées symétriques en quatre dimensions : toutes les permutations de (1,2,3,4) forment les sommets d'un octaèdre tronqué dans le sous-espace à trois dimensions x + y + z + w = 10. Pour cette raison, l'octaèdre tronqué est aussi connu quelquefois sous le nom de permutoèdre. La construction se généralise à n quelconque, et forme un polytope à (n – 1) dimensions, ses sommets représentent les permutations d'un ensemble de n articles; par exemple, les six permutations de (1,2,3) forment un hexagone régulier dans le plan x + y + z = 6.

Construction géométrique[modifier | modifier le code]

Troncature de l'octaèdre régulier.

On obtient un tétrakaidécaèdre d'Archimède (ou octaèdre tronqué) en tronquant les 6 sommets d'un octaèdre régulier à hauteur du tiers de chaque arête.

On peut aussi construire un octaèdre tronqué à l'aide du patron ci-contre.

Mesures et volume[modifier | modifier le code]

Si les arêtes de l'octaèdre tronqué sont de longueur a,

  • son volume est :
V=8\sqrt{2}\ a^3\approx 11{,}3137\ a^3
  • l'aire de sa surface est :
A=6\,(1+2\sqrt 3)\ a^2\approx 26{,}7846\ a^2

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Un tétrakaidécaèdre est un polyèdre possèdant 14 faces.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]