Coordonnées sphériques

On appelle coordonnées sphériques divers systèmes de coordonnées de l'espace qui généralisent les coordonnées polaires du plan. Un point de l'espace y est repéré par la distance à un pôle et deux angles. Ce système est d'emploi courant pour le repérage géographique : l'altitude, la latitude, et la longitude sont une variante de ces coordonnées. Plusieurs systèmes de coordonnées sphériques sont également employés en astrométrie.

Il existe différentes conventions concernant la définition des angles. Cet article utilise la convention P(ρ,θ,φ), utilisée en mathématiques, où θ désigne la longitude et est compris entre 0 et 2π, et φ désigne la colatitude et est compris entre 0 et π.

Dans cette convention de coordonnées sphériques, la position du point P est définie par la distance ρ et par les angles φ (colatitude) et θ (longitude). Cependant, pour un repère direct il faut que φ et θ soit inversé sur le schéma.

Histoire

Article détaillé : histoire des fonctions trigonométriques.

Définition et propriétés élémentaires

Conventions

rayon-colatitude-longitude

Étant donné un repère cartésien (O, x, y, z), les coordonnées sphériques (ρ, θ, φ) d'un point P sont définies par :

• ρ est la distance du point P au centre O et donc ρ > 0.
• θ est l'angle orienté formé par les demi-plans ayant pour frontière l'axe vertical et contenant respectivement la demi-droite [O, x) et le point P. Si H est le projeté orthogonal de P dans le plan (O, x, y), alors θ peut être défini comme l'angle formé par les vecteurs x et OH.
• φ est l'angle non orienté formé par les vecteurs z et OP, appelé angle zénital ou colatitude.

Par convention, et pour assurer l'unicité de ρ, l'angle θ est compris entre 0 et 2π radians (0° et 360°) et l'angle φ est compris entre 0 et π radians (0° et 180°). Cette convention vaut pour le repérage mais θ et φ peuvent parcourir un intervalle plus important pour une courbe paramétrée ρ(θ,φ).

La relation de passage aux coordonnées cartésiennes s'écrit :

${\begin{cases}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta \\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta \\z&=\rho \cos \varphi \end{cases}}$

On utilise cette notation dans la suite de l'article.

rayon-colatitude-longitude

En physique, les notations θ et φ sont généralement interverties, conformément au standard ISO 31-11 sur les « signes et symboles mathématiques à utiliser en sciences physiques et en technologie ». La distance au pôle est souvent notée r.

rayon-longitude-latitude

Un point repéré en coordonnées sphériques (rayon/longitude/latitude).

En mathématiques, on emploie également le système des géographes. On nomme les coordonnées (ρ, θ, δ), où :

• ρ désigne la distance du point au centre du repère (centre de la Terre) ;
• θ désigne la longitude, mesurée depuis l'axe des x généralement entre –180° et 180° (-π ≤ θ ≤ π) ;
• δ désigne la latitude, l'angle depuis le plan équatorial, entre –90° et 90° (-π/2 ≤ δ ≤ π/2).

L'échange entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées sphériques se fait alors par les formules :

${\begin{cases}x&=\rho \cos \delta \cos \theta \\y&=\rho \cos \delta \sin \theta \\z&=\rho \sin \delta \end{cases}}$

Il est aisé de passer d'un système à un autre car latitude et colatitude sont liées par :

$\delta =90^{\text{o}}-\varphi$

Il est d'usage courant que la latitude soit également désignée par φ, comme la colatitude.

Lien avec les coordonnées polaires

Article détaillé : coordonnées polaires.

Dans le plan vertical (O, z, OP), le système de coordonnées (ρ, θ) est polaire. Dans le plan horizontal (O, x, y), (ρ,sin(θ),φ) est aussi un système de coordonnées polaires.

Soit ${\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {OP}}$

$\theta =({\overrightarrow {Oz}},{\overrightarrow {OP}})$

P' le projeté de P sur le plan xOy

${\overrightarrow {OP'}}={\overrightarrow {r}}\sin(\theta )$

$\varphi =({\overrightarrow {Ox}},{\overrightarrow {OP'}})$

Les coordonnées sphérique du point P sont :

$\left\{{\begin{matrix}z&=&\rho \cos \theta &&\\x&=&OP'\cos \varphi &=&\rho \sin \theta \cos \varphi \\y&=&OP'\sin \varphi &=&\rho \sin \theta \sin \varphi \end{matrix}}\right.$

Utilisation

Un certain nombre de problèmes possèdent des symétries ; l'utilisation de coordonnées sphériques avec certaines symétries peut simplifier grandement l'expression du problème et sa résolution.

Par ailleurs, de nombreuses données peuvent se représenter par des points sur une sphère. Il est donc important d'avoir un système de coordonnées permettant :

• de relever la position d'un point (mesure) ;
• de décrire la position d'un point (résultat d'un calcul par exemple) ;
• d'effectuer une analyse statistique sur une population de points.

De telles données sont appelées données sphériques. Il peut s'agir de position sur un objet sphéroïdal, comme des emplacements sur le globe terrestre. Mais un point sur une sphère peut aussi représenter une direction — le rayon de la sphère n'a alors pas d'importance, et l'on peut se ramener à une sphère de rayon unité.

Repérage géographique

Coordonnées géographiques φ (latitude) et λ (longitude).

Articles détaillés : coordonnées géographiques et géoïde.

Les coordonnées géographiques, utilisées pour se repérer sur la surface de la Terre, sont une variante des coordonnées sphériques. Elles utilisent les coordonnées h (altitude), l (latitude) et λ (longitude), qui sont reliées aux coordonnées sphériques par :

${\begin{aligned}h&=\rho -\rho _{\text{g}}(l,\lambda )\\l&=90^{\text{o}}-\theta \\\lambda &=\varphi {\text{ si }}\varphi \leq 180^{\text{o}}\\&=\varphi -360^{\text{o}}{\text{ sinon}}\end{aligned}}$

où ρ_g(l, λ) est la distance au centre de la Terre du point du géoïde situé dans la direction (l, λ). Lorsque l'ellipsoïde de révolution est utilisé à la place du géoïde, h est alors la hauteur géodésique ou hauteur ellipsoïdale, encore nommée hauteur au-dessus de l'ellipsoïde; elle diffère de l'altitude d'environ +/-100 m au plus. La hauteur ellipsoïdale est une grandeur purement géométrique, l'altitude est une grandeur physique. La grandeur h est la distance mesurée le long de la normale à l'ellipsoïde entre ce dernier et le point considéré.

Coordonnées célestes

Coordonnées équatoriales : déclinaison et ascension droite.

Article détaillé : coordonnées célestes.

Les coordonnées célestes, utilisées pour repérer les astres sur le ciel, utilisent cette même variante avec ρ fixé (projection sur la voûte céleste). Par exemple, le système de coordonnées équatoriales, utilisé pour repérer les objets hors du système solaire, utilisent la déclinaison (correspond à l) et l'ascension droite (correspond à λ, exprimée en heures, avec 1 h = 15°).

Calculs

Les coordonnées sphériques sont d'emploi courant dans trois cas :

• mouvement à distance fixe d'un point donné, comme dans le cas d'un pendule ;
• mouvement à force centrale, notamment dans le potentiel de Coulomb ;
• problèmes présentant une symétrie sphérique.

Exemple du pendule

Article détaillé : pendule.

Exemple de l'attraction coulombienne

Articles détaillés : équation de Schrödinger et harmonique sphérique.

Données sphériques

Les données sphériques sont donc des relevés de directions d'une droite dans l'espace. Si cette droite est orientée, on parle de vecteur unitaire (puisque l'on suppose une sphère de rayon unité), ou simplement vecteur ; si elle n'est pas orientée, on parle d'axe. Un vecteur est un rayon de la sphère unité et peut être représenté par un point P de la sphère. Un axe est un diamètre de la sphère et peut être représenté par un des deux points diamétralement opposés, P ou Q.

Exemple de données :

• vectorielles :
  • astrophysique : directions d'arrivée de rayonnements cosmiques,
  • géologie structurale : normales à la surface en différents points d'un pli conique ou cylindrique,
  • paléomagnétisme : rémanence magnétique dans des roches,
  • météorologie : direction des vents à un emplacement donné,
  • océanographie physique : mesure des directions des courants marins ;
• axiales :
  • cristallographie : orientation d'un cristallite (voir Texture (cristallographie)), direction des axes optiques d'un cristal de quartz dans un galet de quartzite,
  • astronomie : normale au plan de l'orbite d'une comète,
  • physiologie animale : orientation des champs dendritiques sur la rétine d'un œil de chat.

Propriétés

Propriétés différentielles

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Différentielles

On se place dans le repère $({\overrightarrow {u_{\rho }}},{\overrightarrow {u_{\theta }}},{\overrightarrow {u_{\varphi }}})$.

Repère pour le calcul différentiel (attention : thêta est la colatitude).

Le volume infinitésimal s'écrit ${\text{d}}^{3}V=\rho ^{2}\sin \theta \,{\text{d}}\rho {\text{d}}\theta {\text{d}}\varphi$

Les surfaces infinitésimales :

• L'élément de surface pour ρ constant s'écrit ${\text{d}}^{2}S_{\rho }=\rho ^{2}\sin \theta \,{\text{d}}\varphi \,{\text{d}}\theta$
• L'élément de surface pour φ constant s'écrit ${\text{d}}^{2}S_{\varphi }=\rho \,{\text{d}}\theta \,{\text{d}}\rho$
• L'élément de surface pour θ constant s'écrit ${\text{d}}^{2}S_{\theta }=\rho \sin \theta {\text{d}}\varphi \,{\text{d}}\rho$

Les vecteurs de la base comobile^[Quoi ?]$({\overrightarrow {u_{\rho }}},{\overrightarrow {u_{\theta }}},{\overrightarrow {u_{\varphi }}})$ ont pour différentielles :

${\begin{aligned}{\text{d}}{\overrightarrow {u_{\rho }}}&={\text{d}}\theta \,{\vec {u}}_{\theta }+\sin \theta \,{\text{d}}\varphi \,{\vec {u}}_{\varphi }\\{\text{d}}{\overrightarrow {u_{\theta }}}&=-{\text{d}}\theta \,{\vec {u}}_{\rho }+\cos \theta \,{\text{d}}\varphi \,{\vec {u}}_{\varphi }\\{\text{d}}{\overrightarrow {u_{\varphi }}}&=-\sin \theta \,{\text{d}}\varphi \,{\vec {u}}_{\rho }-\cos \theta \,{\text{d}}\varphi \,{\vec {u}}_{\theta }\end{aligned}}$

On en déduit les dérivées par rapport au temps :

${\begin{aligned}{\dot {\overrightarrow {u_{\rho }}}}&={\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {\varphi }}\,\sin \theta \,{\vec {u}}_{\varphi }\\{\dot {\overrightarrow {u_{\theta }}}}&={\dot {\varphi }}\,\cos \theta \,{\vec {u}}_{\varphi }-{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\rho }\\{\dot {\overrightarrow {u_{\varphi }}}}&=-{\dot {\varphi }}\,\sin \theta \,{\vec {u}}_{\rho }-{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \,{\vec {u}}_{\theta }\end{aligned}}$

Cinématique

Les quantités cinématiques, position, vitesse et accélération s'en déduisent :

${\begin{aligned}{\overrightarrow {OM}}&=\rho \,{\overrightarrow {u_{\rho }}}\\{\dot {\overrightarrow {OM}}}&={\dot {\rho }}\,{\overrightarrow {u_{\rho }}}+\rho {\dot {\theta }}\,{\overrightarrow {u_{\theta }}}+\rho \sin \theta \,{\dot {\varphi }}\,{\overrightarrow {u_{\varphi }}}\\{\ddot {\overrightarrow {OM}}}&=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\theta }}^{2}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta )\,{\overrightarrow {u_{\rho }}}+(\rho {\ddot {\theta }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\theta }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \,\cos \theta )\,{\overrightarrow {u_{\theta }}}+(\rho {\ddot {\varphi }}\sin \theta +2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}\sin \theta +2\rho {\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos \theta )\,{\overrightarrow {u_{\varphi }}}\end{aligned}}$

Opérateurs différentiels

Article détaillé : nabla.

L'opérateur nabla, servant au calcul du gradient, de la divergence et du rotationnel s'écrit

${\overrightarrow {u_{\nabla }}}=\left({\frac {\partial }{\partial \rho }},{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {1}{\rho \sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)$

Le laplacien s'en déduit :

$\Delta ={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho ^{2}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}$

Tenseurs usuels

Articles détaillés : tenseur métrique et symbole de Christoffel.

Le tenseur métrique s'écrit

$g_{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \end{matrix}}\right)$

et l'intervalle

${\text{d}}s^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\text{d}}\rho ^{2}-\rho ^{2}{\text{d}}\theta ^{2}-\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \,{\text{d}}\varphi ^{2}.$

Les éléments non nuls du symbole de Christoffel sont

${\begin{aligned}\Gamma _{\theta \theta }^{\rho }&=-\rho \\\Gamma _{\varphi \varphi }^{\rho }&=-\rho \sin ^{2}\theta \\\Gamma _{\rho \theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta \rho }^{\theta }&=\rho ^{-1}\\\Gamma _{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\cos \theta \,\sin \theta \\\Gamma _{\rho \varphi }^{\varphi }=\Gamma _{\varphi \rho }^{\varphi }&=\rho ^{-1}\\\Gamma _{\varphi \theta }^{\varphi }=\Gamma _{\theta \varphi }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}$

Relation avec les autres systèmes de coordonnées usuels

Les coordonnées cartésiennes (x, y, z), cylindriques (r, φ′, z) et sphériques, lorsqu'elles sont définies par rapport au même repère cartésien (O, x, y, z) suivent les lois de transformations données ci-dessous.

Système de coordonnées	Depuis les coordonnées sphériques	Vers les coordonnées sphériques
Coordonnées cartésiennes	${\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta \\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta \\z&=\rho \cos \varphi \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\varphi &=\arccos(z/\rho )\\\theta &={\begin{cases}\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&\mathrm {si} \ y\geq {0}\\2\pi -\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&\mathrm {si} \ y<0\end{cases}}\\\theta &=\arctan(y/x)\end{aligned}}$
Coordonnées cylindriques	${\begin{aligned}r&=\rho \sin \theta \\\varphi ^{\prime }&=\varphi \\z&=\rho \cos \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\rho &={\sqrt {r^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan(r/z)\\\varphi &=\varphi ^{\prime }\end{aligned}}$

Dans le tableau ci-dessus arctan(y, x) est le prolongement classique sur les différents quadrants de arctan(y/x) pour x et y positifs.

• 

  Coordonnées sphériques

• 

  Coordonnées cartésiennes

• 

  Coordonnées cylindriques

Généralisation

Dans l'espace euclidien de dimension n, pour un point de coordonnées cartésiennes (x₁, …, x_n), on définit les coordonnées hypersphériques (r, θ₁, …, θ_n–1) par

${\begin{matrix}r&=&\|x\|\\x_{1}&=&r\cos \theta _{1}\\x_{2}&=&r\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}\\\cdots &&\\x_{n-1}&=&r\sin \theta _{1}\,\cdots \,\sin \theta _{n-2}\cos \theta _{n-1}\\x_{n}&=&r\sin \theta _{1}\,\cdots \,\sin \theta _{n-2}\sin \theta _{n-1}\end{matrix}}$

avec $\theta _{1},\ldots ,\theta _{n-2}\in [0,\pi ]\quad {\rm {et}}\quad \theta _{n-1}\in [0,2\pi ].$

Les coordonnées sphériques constituent le cas particulier n = 3 et les polaires n = 2 ; on pourra consulter la section correspondante de l'article 3-sphère pour le cas n = 4.