Anneau euclidien non commutatif

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La notion d'anneau euclidien non commutatif généralise la notion classique d'anneau euclidien au cas non commutatif. Les polynômes tordus (voir infra) en fournissent un exemple. En particulier, l'anneau des opérateurs différentiels à coefficients dans un corps commutatif est un anneau euclidien non commutatif.


Définitions et propriétés[modifier | modifier le code]

Un anneau sans diviseur de zéro est appelé un anneau euclidien à gauche s'il existe une fonction , appelée fonction euclidienne à gauche[1] ou stathme euclidien à gauche[2] et vérifiant les conditions suivantes:

(E1) .
(E2) Pour tous [3].
(E3) Pour tout et pour tout , il existe tels que
, ,
ce qu'on appelle algorithme de la division à gauche.

Ce qui précède est encore valide si l'on change partout gauche par droite, en inter-changeant et dans (E2), et en remplaçant l'algorithme de la division à gauche par l'algorithme de la division à droite:

, .

Les éléments et de l'algorithme de la division à gauche (resp. à droite) sont appelés un quotient et un reste de la division à droite (resp. à gauche) de par .

Un anneau euclidien est un anneau euclidien à gauche qui est un anneau euclidien à droite.

Si l'on remplace (E2) par la condition plus forte

(E2') Pour tous et ,

on montre que le reste est unique (de même que le quotient ) et l'anneau euclidien à gauche est donc dit avec reste unique[1].


La propriété suivante est fondamentale: un anneau euclidien à gauche est principal à gauche (la démonstration étant identique à celle faite dans le cas commutatif: voir l'article anneau euclidien).

Exemples[modifier | modifier le code]

L'anneau des entiers relatifs est un anneau euclidien commutatif avec pour stathme euclidien la fonction définie par si et . Cet anneau euclidien n'est pas avec reste unique.


Soit l'anneau des opérateurs différentiels de la forme

.

où les sont des fractions rationnelles en à coefficients dans le corps ou . Cet anneau est un anneau euclidien.


Plus généralement, soit un corps, un automorphisme de et une -dérivation, et considérons l'anneau des polynômes tordus d'indéterminée à coefficients dans (voir l'article anneau de Dedekind non commutatif). Cet anneau est euclidien avec reste unique, avec le degré pour stathme euclidien à gauche et à droite[1].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c Cohn 1985
  2. Bourbaki 2006, §VII.1, exercice 7
  3. Par convention,

Références[modifier | modifier le code]