Anneau sans diviseur de zéro
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En théorie des anneaux, un anneau sans diviseur de zéro (en anglais : domain) est un anneau unitaire dans lequel un produit est nul seulement si l'un des facteurs est nul, autrement dit dans lequel l'implication suivante est vérifiée[1] :
- .
En d'autres termes, c'est un anneau dans lequel il n'y a aucun diviseur de zéro (ni à droite, ni à gauche).
Certains auteurs exigent également que la condition 1 ≠ 0 soit remplie[2] ou, ce qui revient au même, que l'anneau ait au moins deux éléments[3].
Un anneau commutatif sans diviseur de zéro qui vérifie en outre la condition 1 ≠ 0 est appelé un anneau intègre[4].
Un anneau sans diviseur de zéro qui est fini est nécessairement un anneau à division et donc un corps commutatif en utilisant le théorème de Wedderburn.
Notes et références[modifier | modifier le code]
- (en) César Polcino Milies et Sudarshan K. Sehgal, An Introduction to Group Rings, Kluwer, (ISBN 978-1-4020-0238-0, lire en ligne), p. 64.
- (en) Nathan Jacobson, Basic Algebra, vol. I, Dover, , 2e éd. (ISBN 978-0-486-47189-1, lire en ligne), p. 90, Section 2.2.
- (en) Charles Lanski, Concepts in Abstract Algebra, Thomson Learning, (ISBN 978-0-82187428-8, lire en ligne), p. 343, Définition 10.18.
- (en) Louis Halle Rowen, Algebra : Groups, Rings, and Fields, A K Peters, , 264 p. (ISBN 978-1-56881-028-7), p. 99.
