Module simple

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Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'anneau des entiers ℤ n'est pas un ℤ-module simple, en effet il contient le sous-module 2ℤ.
  • Un espace vectoriel de dimension 1 est un module simple. Plus abstraitement, un corps commutatif (ou même un corps gauche) est un module simple quand on le considère comme un espace vectoriel sur lui-même.
  • Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche.

Structure des modules simples[modifier | modifier le code]

Soient A un anneau unitaire et M un A-module simple.

  • Alors M est un A-module monogène, engendré par n'importe quel élément non nul x de M. En effet, Ax est un sous-module non nul de M, donc c'est M. La réciproque est fausse, par exemple le ℤ-module ℤ est monogène (engendré par 1) mais pas simple.
  • Soit x un élément non nul M. Alors l'ensemble des éléments a de A tels que ax = 0 est un idéal à gauche maximal I de A, et l'application a↦ax de A dans M est A-linéaire, et par passage au quotient, définit un isomorphisme de A-module de A/I sur M.
  • Réciproquement, pour tout idéal à gauche J de A, pour que le A-module A/J soit simple, il faut et il suffit que soit un élément maximal de l'ensemble des idéaux à gauche de A différent de A.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Les modules simples sont les modules de longueur 1.
  • Un module simple est indécomposable (en), c'est-à-dire qu'il n'est pas isomorphe à une somme directe de deux modules non nuls. La réciproque est fausse.
  • Contrairement à ce qui se passe pour des espaces vectoriels, un module non nul peut ne pas posséder de sous-module simple. Par exemple, tous les sous-modules non nuls de ℤ sont isomorphes à ℤ donc non simples.

Lemme de Schur[modifier | modifier le code]

Soient A un anneau, M et N des A-modules et f une application A-linéaire de M dans N. Si M est simple, alors f est soit nulle, soit injective (en effet, le noyau de f est un sous-module de M, donc {0} ou M). Si N est simple, alors f est soit surjective, soit nulle (en effet, l'image de f est un sous module de N, donc {0} ou N).

L'anneau des endomorphismes d'un A-module simple est donc un corps, mais la réciproque est fausse : le ℤ-module ℚ n'est pas simple, et pourtant tout endomorphisme non nul du groupe abélien ℚ est inversible.

Soient K un corps algébriquement clos, A une K-algèbre de dimension finie non nulle et M un A-module simple. Alors l'anneau des endomorphismes de A-module de M est canoniquement isomorphe à K.

Voir aussi[modifier | modifier le code]