Anneau à PGCD

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Ne doit pas être confondu avec : Anneau des entiers de Gauss.

En algèbre commutative, un anneau à PGCD, ou plus rarement anneau de Gauss[1], est un anneau commutatif unitaire dans lequel tout couple d'éléments non nuls possède un plus grand diviseur commun. Dans un anneau quelconque, l'existence d'un tel PGCD n'est pas toujours acquise. Les anneaux intègres à PGCD représentent une classe d'anneaux aux propriétés arithmétiques intéressantes à tel point qu'il est fréquent que les anneaux à PGCD ne soient étudiés que dans les anneaux intègres[1],[2],[3].

Définitions et exemples[modifier | modifier le code]

Dans un anneau A, si a et b sont deux éléments non nuls de A, on dit que d est un PGCD (plus grand commun diviseur) de a et b si d est un diviseur de a et de b et si tout autre diviseur commun à a et b est aussi un diviseur de d.

L'existence d'un maximum pour l'ensemble des diviseurs communs à a et b, qui est acquise dans l'ensemble des entiers relatifs, n'est pas une propriété générale à tout anneau : ainsi dans l'anneau ℤ[i5], les éléments a = 6 et b = 2 + 2i5 ne possèdent pas de PGCD.

Un anneau à PGCD est un anneau où cette existence est acquise.

Propriétés des anneaux intègres à PGCD[modifier | modifier le code]

Soient a, b, c des éléments non nuls d'un anneau intègre quelconque. Le symbole ~ représente l'égalité à produit près par un inversible.

  • Si PPCM(a, b) existe alors PGCD(a, b) existe et l'on a l'égalité suivante :.La réciproque peut se révéler fausse ; ainsi dans l'anneau ℤ[i5], les éléments a = 1 – i5 et b = 2 (irréductibles) admettent 1 comme PGCD mais n'ont pas de PPCM. Cependant, si tous les couples (a, b) possèdent un PGCD alors ils possèdent aussi un PPCM. Un anneau intègre à PGCD est donc aussi un anneau à PPCM (et réciproquement).
  • Si PGCD(ac, bc) existe alors PGCD(a, b) existe et l'on a l'égalité suivante :.Cette égalité permet d'exprimer tout élément du corps des fractions d'un anneau à PGCD sous forme irréductible (unique).
    À nouveau, la réciproque est fausse : ainsi dans l'anneau ℤ[i5], les éléments a = 1 – i5 et b = 2 possèdent un PGCD mais 6 et 2(1 + i5) n'en possèdent pas.
  • PPCM(ac, bc) existe si et seulement si PPCM(a, b) existe[4], et l'on a donc dans ce cas :.

Si A est un anneau intègre à PGCD alors A\{0}, muni des deux lois PPCM et PGCD, est un treillis distributif, c'est-à-dire que chacune des deux lois est distributive par rapport à l'autre[5].

Un anneau intègre à PGCD vérifie le lemme de Gauss et donc le lemme d'Euclide, c'est-à-dire :

Lemme de Gauss : pour tout couple (a, b) d'éléments non nuls de A, a et b sont premiers entre eux si et seulement si, pour tout élément c de A, si a divise bc alors a divise c.

Lemme d'Euclide : pour tout élément irréductible p de A et pour tout couple (a, b) d'éléments de A, si p divise ab alors p divise a ou p divise b.

Ainsi, dans un anneau intègre à PGCD, un élément est irréductible si et seulement s'il est premier.

Le lemme de Gauss permet par ailleurs de prouver[6] qu'un anneau intègre à PGCD est intégralement clos.

Tout anneau de polynômes à coefficients dans un anneau intègre à PGCD est encore à PGCD[7].

Relation avec les anneaux factoriels et les anneaux de Bézout[modifier | modifier le code]

  • Tout anneau factoriel et tout anneau de Bézout est un anneau à PGCD.
  • Tout anneau à PGCD intègre et noethérien est factoriel. Plus précisément, un anneau intègre est factoriel si et seulement si c'est à la fois un anneau à PGCD et un anneau dans lequel toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire.
  • Il existe des anneaux intègres à PGCD qui ne sont pas factoriels (prendre un anneau de Bézout non factoriel comme l'anneau des entiers algébriques).
  • Il existe des anneaux intègres à PGCD qui ne sont pas de Bézout (par exemple un anneau factoriel noethérien non principal : ℚ[X,Y] ou ℤ[X]).
  • Il existe des anneaux intègres à PGCD qui ne sont ni factoriels ni de Bézout[8].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Mutafian (1976), p. 30.
  2. Szpirglas (2009), p. 505, Définition 9.92.
  3. Aviva Szpirglas précise : « Les anneaux à pgcd ne sont pas [non plus] supposés intègres. Comme nous nous intéressons à leurs propriétés arithmétiques, nous ne parlerons pas du cas non intègre. » (Szpirglas (2009), p. 511).
  4. Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon sur les anneaux sur la Wikiversité.
  5. Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon sur les anneaux sur la Wikiversité.
  6. (en) Every gcd domain is integrally closed de PlanetMath.
  7. Ou plus généralement : toute algèbre d'un monoïde à PGCD sur un tel anneau : (en) Robert W. Gilmer, Commutative Semigroup Rings, University of Chicago Press, (ISBN 978-0-22629392-9, lire en ligne), p. 176, Theorem 14.5.
  8. Soit A un anneau intègre à PGCD mais non factoriel. Alors A[X] est à PGCD d'après Gilmer 1984, p. 176. Mais il n'est pas factoriel (sinon A serait factoriel), ni de Bézout (considérer l'idéal engendré par a et Xa est un élément de A non nul et non inversible, cet idéal qui est de type fini n'est pas principal car tout générateur diviserait à la fois a et X).

Bibliographie[modifier | modifier le code]