Profondeur d'un module

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En algèbre commutative, la profondeur d'un module est une mesure de la taille de son support.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit M un module sur un anneau commutatif A. Un élément a de A est dit M-régulier si le seul vecteur x de M tel que ax = 0 est le vecteur nul. Les éléments A-réguliers sont donc exactement les éléments réguliers de A (éléments non diviseurs de 0).

Une suite (ordonnée) d'éléments de A est appelée une suite M-régulière si pour tout i < n, est régulier pour le module .

Lorsque A est un anneau noethérien, M est de type fini et I est un idéal de A tel que IMM, le plus grand entier n tel qu'il existe une suite M-régulière d'éléments appartenant à I est appelé la I-profondeur de M. Si de plus A est local de maximal m, la m-profondeur de M est simplement appelée la profondeur de M.

On dit qu'un anneau noethérien A est un anneau de Cohen (en)-Macaulay (en) si pour tout idéal premier P de A, l'anneau local est de profondeur (en tant que -module) égale à sa dimension de Krull.

Exemples

  1. Tout anneau local régulier est un anneau de Cohen-Macaulay.
  2. Soit A le localisé de en l'idéal maximal engendré par . C'est un anneau de dimension 1, mais de profondeur nulle car tout élément de son idéal maximal est diviseur de 0.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Soient A, B des anneaux locaux noethériens, un morphisme plat et M un A-module de type fini. Alors

[1]

k est le corps résiduel de A.

Référence[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra, 2e éd., Benjamin Cummings, 1980, chap. 6