Algèbre sur un anneau

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En mathématiques, une algèbre sur un anneau commutatif A est une structure algébrique qui se définit comme suit :

(E, A, +, ∙, ×) est une algèbre sur A, ou une A-algèbre, si :

  1. (E, +, ∙) est un module sur A ;
  2. la loi de composition interne ×, de E × E dans E, est bilinéaire.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soient A un anneau commutatif et E un module sur A muni d'une opération binaire (c'est-à-dire \forall x, y \in E, xy\,, est le « produit » de x et y). Si cette opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que pour tous x, y, z \in E\, (éléments du module) et pour tout a \in A (scalaires), ces identités sont vraies :

  • (x + y) \times z = (x \times z) + (y \times z)~;
  • x \times ( y + z) = (x \times y) + (x \times z)~;
  • (a\cdot x) \times y = a\cdot (x \times y) = x \times (a\cdot y),

alors E est une algèbre sur A. On dit aussi que E est une A-algèbre où A est la base de l'algèbre E. L'opération bilinéaire est appelé la multiplication dans l'algèbre E[1].

Lorsque A est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur A.

Un morphisme entre deux A-algèbres E et F est un morphisme \,f\,:\, E\to F pour les lois internes (addition et multiplication) et le produit par des scalaires :

f(x+y)=f(x)+f(y),~f(x\times y)=f(x)\times f(y)~\text{et}~f(a\cdot x)=a\cdot f(x)

pour tous x,y\in E et tout a\in A.

Un morphisme est un isomorphisme si et seulement s'il est bijectif (son inverse est alors automatiquement un morphisme d'algèbres). Deux A-algèbres sont dites isomorphes s'il existe un isomorphisme de A-algèbres de l'une vers l'autre.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, 1970, chap. III, p. 2

Voir aussi[modifier | modifier le code]