Algèbre sur un anneau

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un anneau commutatif A est une structure algébrique qui se définit comme suit :

(E, A, +, ∙, ×) est une algèbre sur A, ou une A-algèbre, si :

  1. (E, +, ∙) est un module sur A ;
  2. la loi de composition interne ×, de E × E dans E, est bilinéaire.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soient A un anneau commutatif et E un module sur A muni d'une opération binaire (c'est-à-dire , est le « produit » de x et y). Si cette opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que pour tous (éléments du module) et pour tout (scalaires), ces identités sont vraies :

alors E est une algèbre sur A. On dit aussi que E est une A-algèbre où A est la base de l'algèbre E. L'opération bilinéaire est appelé la multiplication dans l'algèbre E[1].

Lorsque A est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur A.

Un morphisme entre deux A-algèbres E et F est un morphisme pour les lois internes (addition et multiplication) et le produit par des scalaires :

pour tous et tout .

Un morphisme est un isomorphisme si et seulement s'il est bijectif (son inverse est alors automatiquement un morphisme d'algèbres). Deux A-algèbres sont dites isomorphes s'il existe un isomorphisme de A-algèbres de l'une vers l'autre.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, 1970, chap. III, p. 2.

Voir aussi[modifier | modifier le code]