Fonction carré

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Fonction carré
Représentation
Dérivée
Primitives

La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x2, soit x multiplié par lui-même. C'est l'une des plus simples des fonctions puissance.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Signe[modifier | modifier le code]

La première propriété est la positivité (au sens large) de la fonction carré. En effet pour tout réel , le réel est le produit de deux nombres réels de même signe ; par la règle des signes il est donc positif.

Parité[modifier | modifier le code]

La fonction est paire : pour tout réel . En effet, avec la remarque précédente en appliquant la règle des signes on obtient .

Résolution d'équation de type x2 = a[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Racine carrée.

Calculer les antécédents d'un réel a par la fonction carré équivaut à résoudre l'équation x2 = a. Il y a trois cas possibles :

  •  : aucune solution dans l'ensemble des réels ;
  •  : une solution, x = 0 ;
  •  : deux solutions, et .

Par exemple, les solutions de x2 = 9 sont 3 et -3. Le calcul d'antécédents peut aussi se faire graphiquement : les antécédents de a sont les abscisses des points d'intersection de la droite d'équation y = a et du graphe de la fonction carré.

Dérivée[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Variations d'une fonction.

La dérivée de la fonction carré est[1] (c'est une fonction linéaire donc impaire). Elle est donc positive sur , si bien que la fonction carré est croissante sur cet intervalle. À l'inverse, elle est négative sur donc la fonction carré est décroissante sur cet intervalle. Elle s'annule en 0, son minimum global. Le sens de variation de la fonction carré est à prendre en compte lors de la résolution d'inéquations (inversion des inégalités si les valeurs sont négatives).

Intégrale[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Méthode de Simpson.

Comme la fonction carré est un polynôme quadratique, la méthode de Simpson est exacte lorsqu'on calcule son intégrale. Pour tout polynôme quadratique P et a et b réels, on a :

donc pour la fonction carré définie par , on a :

Primitive[modifier | modifier le code]

Article connexe : Primitive.

La fonction carré possède comme primitives toutes les fonctions g définies par, pour C une constante :

Représentation graphique[modifier | modifier le code]

Représentation graphique de la fonction carré.

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0, 0). L'intégralité de la parabole se situe au-dessus de l'axe des abscisses — ce qui traduit la positivité de la fonction — et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La limite de la fonction carré, en plus l'infini et en moins l'infini, est égale à plus l'infini.

Note[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple ce calcul basique sur la Wikiversité.