Fonction carré

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Fonction carré
Représentation
Dérivée
Primitives

La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x2, soit x multiplié par lui-même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Signe et sens de variation

La première propriété est la positivité de la fonction carré. En effet quel que soit x réel, , on a forcément le produit de deux nombres réels de même signe; par la règle des signes ce produit sera toujours positif (au sens large). Concernant son sens de variation, la fonction carré est strictement décroissante sur les nombres réels négatifs et strictement croissante sur les réels positifs. Elle admet une unique racine (valeur annulatrice) en 0. Le sens de variation de la fonction carré est très important à prendre en compte lors de la résolution d'inéquations (inversion des signes si les valeurs sont négatives).

Parité

La fonction est paire : pour tout réel x. En effet, avec la remarque précédente en appliquant la règle des signes on obtient .

Résolution d'équation de type x2=a[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Racine carrée.

Lors du calcul d'un antécédent avec la fonction carré il faut résoudre l'équation suivante x2=a, il y a trois cas possibles :

  •  : aucune solution dans l'ensemble des réels ;
  •  : une solution, x=0 ;
  •  : deux solutions, ou .

Par exemple, si x2=9 alors x=3 ou x=-3 en appliquant la racine carrée. Le calcul d'antécédents peut aussi se faire graphiquement, les antécédents sont les valeurs des intersections de la droite y=a et la parabole de la fonction x2.

Dérivée[modifier | modifier le code]

La dérivée de la fonction carré est (c'est une fonction linéaire donc impaire). Elle est donc positive sur , si bien que la fonction carré est croissante sur cet intervalle. À l'inverse, elle est négative sur donc la fonction carré est décroissante sur cet intervalle.

Intégrale[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Méthode de Simpson.

Comme la fonction carré est un polynôme quadratique, la méthode de Simpson est exacte lorsqu'on calcule son intégrale. Pour tout polynôme quadratique P et a et b réels, on a :

donc pour la fonction carré définie par , on a :

Primitive[modifier | modifier le code]

Article connexe : Primitive.

La fonction carré possède comme primitives toutes les fonctions g définies par, pour C une constante :

Représentation graphique[modifier | modifier le code]

Représentation graphique de la fonction carré.

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0,0). L'intégralité de la parabole se situe au-dessus de l'axe des abscisses — ce qui traduit la positivité de la fonction — et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La limite de la fonction carré, en plus l'infini et en moins l'infini, est égale à plus l'infini.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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