Puissance extérieure

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La puissance extérieure p-ième d'un module E (sur un anneau commutatif) est une construction en algèbre extérieure qui est une solution au problème suivant : existe-t-il un module M, le « plus petit » possible et une application canonique φ : EpM telle que pour toute application multilinéaire alternée f définie sur Ep à valeur dans un module F quelconque, il existe une unique application g définie sur M à valeurs dans F telle que  ?

Construction du produit extérieur[modifier | modifier le code]

On considère le produit tensoriel :

On sait que toute application multilinéaire est en correspondance avec une application linéaire telle que :

Comme f est alternée, l'application h s'annule en tous les tenseurs décomposables tels qu'il existe deux indices différents vérifiant . Considérons le sous-module C de N engendré par les tenseurs de cette forme. Comme C est incluse dans le noyau de h, il existe une unique application multilinéaire g du module quotient N/C telle que :

On appelle donc puissance extérieure le quotient N/C et on le note . Si , la classe de l'élément se note (au lieu de comme écrit précédemment).

Rang, dimension d'un produit extérieur[modifier | modifier le code]

Lorsque E est un module libre de type fini sur un anneau commutatif A, il possède une base finie et la famille suivante :

est une base du produit extérieur .

En particulier, on déduit le résultat surprenant suivant : deux bases finies et d'un module sur un anneau commutatif ont même cardinal. En effet, soit n le cardinal de l'une, et m le cardinal de l'autre. Supposons n < m. Le produit extérieur est le module nul, car en utilisant la propriété précédente, on déduit que la famille vide est une base de , par ailleurs, la famille qui est non vide est également une base. D'où la contradiction, donc , par symétrie on déduit , d'où n = m.