Solénoïde

Un solénoïde (gr. solen "tuyau, conduit" + gr. eidos "en forme de") est un dispositif constitué d'un fil électrique enroulé régulièrement en hélice de façon à former une bobine longue. Parcouru par un courant, il produit un champ magnétique dans son voisinage, et plus particulièrement à l'intérieur de l'hélice où ce champ est quasiment uniforme. L'avantage du solénoïde réside dans cette uniformité qui est parfois requise dans certaines expériences de physique. Mais il présente aussi des inconvénients : il est plus encombrant que les bobines d'Helmholtz et ne peut pas produire un champ magnétique élevé sans matériel coûteux et système de refroidissement. C'est au cours de l'année 1820 qu'André-Marie Ampère imagina le nom de solénoïde, lors d'une expérience sur les courants circulaires.

Solénoïde traversé par un courant. Les courbes bleues représentent les lignes du champ magnétique.

Théorie

Champ magnétique sur l'axe

Le solénoïde est modélisé par une série de N spires de rayons R, de même axe, parcourues par un même courant i et disposées régulièrement sur une longueur 2a. On note O le centre du solénoïde, et A et B ses extrémités.

On connaît le champ magnétique créé par une spire de courant sur son axe. On peut alors en déduire le champ créé par le solénoïde sur son axe :

$B(z)=\mu_0 nI \frac {\Omega_B-\Omega_A}{4 \pi}$,

où n = N /(2a) est le nombre de spires par unité de longueur, $\Omega_A$ et $\Omega_B$ sont les angles solides sous lequel on voit respectivement la face A et la face B depuis la distance z par rapport à O, et $\mu_0$ est la perméabilité magnétique du vide.

Au centre du solénoïde, c'est-à-dire en z=0, cette formule devient :

$B(0) =\mu_0 nI \frac{a}{\sqrt{a^2+ R^2}}=\mu_0 \frac {N}{2a} I \frac{a}{\sqrt{a^2+ R^2}}$

Le champ magnétique créé au centre augmente si l'on rajoute des spires ou du courant, mais diminue si l'on agrandit le diamètre du solénoïde.

Remarque. l'expression du champ magnétique pour le solénoïde peut être obtenue à partir de l'utilisation du théorème d'Ampère en choisissant comme contour fermé un rectangle.

Champ magnétique hors de l'axe

On peut montrer qu'il est possible de déterminer le champ magnétique dans tout l'espace ($\vec B (r,z)=B_z(r,z)\vec u_z+B_r(r,z)\vec u_r$) à partir du champ magnétique sur l'axe ($B (0,z)$ noté $F (z)$) grâce aux relations suivantes :

$B_z(r,z)= F(z) - \frac{1}{4} r^2 F''(z)$ et

$B_r(r,z) = -\frac{1}{2}r F '(z) + \frac{1}{16} r^3 F'''(z)$.

On s'aperçoit alors que ce champ est quasi-homogène dans tout le volume délimité par le solénoïde. Cela correspond à des lignes de champ quasi-parallèles entre elles. À l'extérieur du solénoïde, le champ est analogue à celui d'un aimant: il présente un pôle nord et un pôle sud. Il est cependant très faible.

Solénoïde infini

Lorsque l'on considère un solénoïde de longueur infinie, on peut montrer que le champ à l'extérieur du solénoïde est nul.

Le champ à l'extérieur d'un solénoïde infini est nul

Dans un premier temps, calculons la contribution au champ magnétique apportée par un élément de longueur $\mathrm{d}h$ du solénoïde, en un point quelconque de l'espace. Cet élément de longueur $\mathrm{d}h$ est parcouru par un courant $in\mathrm{d}h$ (le courant $i$ est le courant qui parcourt une spire et $n$ le nombre de spires par unité de longueur. Le courant parcourant une suite de spires de longueur $\mathrm{d}h$ (un mini solénoïde de longueur $\mathrm{d}h$, en fait) est donc $in\mathrm{d}h$).

La loi de Biot et Savart nous donne que la contribution apportée par ce mini solénoïde s'écrit : $\frac{\mu_0}{4 \pi}\cdot \int_{spire} \ \frac{in \mathrm{d}h\cdot \vec{\mathrm{d}l} \wedge \vec{PM}}{PM^3}$.

Explicitons les éléments qui interviennent : $\vec{dl}=a \cos( \theta ) \mathrm{d}\theta \vec{u_z} + a sin( \theta ) \mathrm{d}\theta \vec{u_x}$ (Remarque : on pourrait ajouter une composante suivant l'axe du solénoïde pour tenir compte du fait qu'il s'agit d'une hélice et non d'une succession de cercles, mais cela ne change rien à la suite du calcul) $\vec{PM}=(d+a \cos ( \theta )) \vec{u_x}+h \vec{u_y} -a \sin( \theta ) \vec{u_z}$

Maintenant, puisque l'on sait (symétrie oblige : tout plan de symétrie de la distribution de courant est plan d'anti-symétrie pour le champ magnétique) que seule la composante suivant l'axe du solénoïde peut être non nulle, on ne va calculer que cette composante dans la contribution de notre mini solénoïde, et cette composante vaut :

$\mathrm{d} B= \left(\frac{\mu_0}{4 \pi}\cdot \int_{spire} \ \frac{in\mathrm{d}h\vec{\mathrm{d}l} \wedge \vec{PM}}{PM^3}\right)\cdot \vec{u_y} = \frac{\mu_0}{4 \pi}\cdot \int_{ \theta = 0}^{2 \pi } \ \frac{(in\mathrm{d}h\vec{\mathrm{d}l} \wedge \vec{PM})\cdot \vec{u_y}}{PM^3} = \frac{\mu_0in\mathrm{d}h}{4 \pi}\cdot \int_{ \theta = 0}^{2 \pi } \frac{ad \cos ( \theta ) +a^2 \cos^2 ( \theta ) + a^2 \sin ^2 ( \theta )}{((d+a \cos ( \theta ))^2+h^2+a^2 \sin ^2 ( \theta ))^{ \frac{3}{2}}}\mathrm{d} \theta$

Maintenant que nous avons exprimé la contribution de notre mini solénoïde, nous allons calculer la valeur de la composante du champ magnétique créé par la totalité du solénoïde :

$B= \int_{solenoide} \ \mathrm{d}B \ = \ \int_{h=-\infty}^{+\infty} \frac{\mu_0in\mathrm{d}h}{4 \pi}\cdot \int_{ \theta = 0}^{2 \pi } \frac{ad \cos ( \theta ) +a^2}{((d+a \cos ( \theta ))^2+h^2+a^2 \sin ^2 ( \theta ))^{ \frac{3}{2}}}\mathrm{d} \theta \ = \ \frac{\mu_0in}{4 \pi}\cdot \int_{h=-\infty}^{+\infty} \int_{ \theta = 0}^{2 \pi } \frac{ad \cos ( \theta ) +a^2}{((d+a \cos ( \theta ))^2+h^2+a^2 \sin ^2 ( \theta ))^{ \frac{3}{2}}}\mathrm{d} \theta \mathrm{d}h$

Maintenant, on utilise le théorème de Fubini, et on inverse les intégrales :

$B= \ \frac{\mu_0in}{4 \pi}. \int_{ \theta = 0}^{2 \pi } \left( \int_{h=-\infty}^{+\infty} \frac{ad \cos ( \theta ) +a^2}{((d+a \cos ( \theta ))^2+h^2+a^2 \sin ^2 ( \theta ))^{ \frac{3}{2}}}\mathrm{d}h \right) \mathrm{d} \theta$

Vu comme ça, il nous faut donc calculer :

$\int_{h=-\infty}^{+\infty} \frac{k}{({q+h^2})^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}h$ avec $k= ad \cos ( \theta ) +a^2$ et $q = (d+a \cos ( \theta ))^2+a^2 \sin ^2 ( \theta )$

Calculons donc cette intégrale (il suffit de faire le changement de variable : $\sinh(t)=\frac{h}{\sqrt{q}}$ , puis de se souvenir que $\frac{1}{\cosh^2(t)}=\tanh'(t)$.)

on trouve finalement $\int_{h=-\infty}^{+\infty} \frac{k}{({q+h^2})^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}h = \frac{2k}{q}$.

Donc en remplaçant: $B= \ \frac{\mu_0in}{2 \pi}\cdot \int_{ \theta = 0}^{2 \pi } \frac{ad \cos ( \theta ) +a^2}{(d+a \cos ( \theta ))^2+a^2 \sin ^2 ( \theta )} \mathrm{d} \theta = \ \frac{\mu_0in}{ \pi}\cdot \int_{ \theta = 0}^{ \pi } \frac{ad \cos ( \theta ) +a^2}{(d+a \cos ( \theta ))^2+a^2 \sin ^2 ( \theta )} \mathrm{d} \theta$

Il s'agit maintenant de montrer que cette nouvelle intégrale est nulle. Pour ceci, on pose $t=tan\left( \frac{ \theta}{2}\right)$.

Alors, $B = \ \frac{\mu_0in}{ \pi}\cdot \int_{t=0}^{\infty} \frac{2}{1+t^2}\cdot \frac{ad(1-t^2)+a^2(1+t^2)}{d^2(1+t^2)+2da(1-t^2)+a^2(1+t^2)} \mathrm{d}t$

Décomposons maintenant en éléments simples :

$B = \ \frac{\mu_0in}{ \pi}\cdot \int_{t=0}^{\infty} \left( \frac{1}{1+t^2} + \frac{(a-d)(a+d)}{(a+d)^2+t^2(a-d)^2} \right)\mathrm{d}t$

Or,

$\int_{t=0}^{\infty} \frac{(a-d)(a+d)}{(a+d)^2+t^2(a-d)^2} \mathrm{d}t = \frac{a-d}{a+d} \ \int_{t=0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+\left(\frac{t(a-d)}{a+d}\right)^2} = \int_{u=0}^{- \infty} \frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}=- \int_{u=0}^{ \infty} \frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}$ (en ayant posé $u=\frac{t(a-d)}{a+d}$ et en s'étant rappelé que $a-d<0$ )

Finalement, la dernière égalité permet de conclure : $B=0$

Remarque : si l'on veut étudier le champ à l'intérieur du solénoïde, on reprend la fin du calcul avec $d<a$ et on retombe bien sur le résultat classique $B= \mu_0 n I$

Monopôle magnétique, corde de Dirac

Si on considère un triple-solénoïde infiniment long de rayon très petit, le champ magnétique dans tout l'espace, sauf l'intérieur du solénoïde qui constitue une singularité appelée corde de Dirac, est celui d'un monopôle magnétique.

Cet objet étrange est irréalisable en théorie, mais il a un certain intérêt en électrodynamique quantique.

Voir aussi

Articles connexes

• Magnétostatique
• Dipôle magnétique d'une sphère
• Électroaimant
• Inductance

Bibliographie

• John David Jackson, Électrodynamique classique [« trad. de (en) Classical Electrodynamics »]  
• Goldhaber & Trower : ressource letter, magnetic monopoles, Am.J.Phys 1990