Coordonnées cylindriques

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En coordonnées cylindriques, la position du point P est définie par les distances r et Z et par l'angle θ.

Le système de coordonnées cylindriques est un système de coordonnées qui étend le système de coordonnées polaires à deux dimensions en y ajoutant une troisième dimension qui mesure la hauteur d'un point par rapport au plan repéré par les coordonnées polaires ; de la même manière que l'on étend le système de coordonnées cartésiennes de deux à trois dimensions. La troisième coordonnée est souvent notée h ou z.

Conversion entre système cartésien et cylindrique[modifier | modifier le code]

À partir des coordonnées cartésiennes (x, y, z), on peut obtenir les coordonnées cylindriques (r, \theta, z) grâce aux formules suivantes :

 \begin{align}
r & = \sqrt{x^2 + y^2}\\
\theta & = \arctan\left({y \over x}\right) \\
z & = z
\end{align}

On peut également convertir les coordonnées cylindriques (r, \theta, z) en coordonnées cartésiennes (x, y, z) grâce aux formules suivantes :

 \begin{align}
x &= r  \cos\theta \\
y &= r  \sin\theta \\
z &= z
\end{align}

Propriétés différentielles[modifier | modifier le code]

Différentielles[modifier | modifier le code]

Élément de volume infinitésimal[modifier | modifier le code]

Le volume infinitésimal s'écrit :


  \text{d}^3 V = r.\text{d}r.\text{d}\theta.\text{d}z
Élément de surface infinitésimal[modifier | modifier le code]

Les éléments de surface infinitésimaux s'écrivent :

\begin{align}
 &\text{d}^2 S_r = r.\text{d}\theta.\text{d}z \\
 &\text{d}^2 S_\theta = \text{d}r.\text{d}z \\ 
 &\text{d}^2 S_z = r.\text{d}r.\text{d}\theta \\
\end{align}

Cinématique[modifier | modifier le code]

Les coordonnées cylindriques sont notamment utilisées dans de nombreux problèmes de mécanique où l'on considère un objet dans un repère tournant. On peut alors avoir besoin des relations concernant la vitesse et l'accélération.

Pour \overrightarrow {u_r}=\cos\theta\overrightarrow{i}+\sin\theta\overrightarrow{j} un vecteur radial et \overrightarrow {u_\theta}=-\sin\theta\overrightarrow{i}+\cos\theta\overrightarrow{j} un vecteur orthoradial, les quantités cinématiques, position, vitesse, accélération sont données par :

\begin{align}
  \overrightarrow{OM}      &= r\overrightarrow{u_r} + z\overrightarrow{u_z}\\
  \dot{\overrightarrow{OM}}  &= \overrightarrow{V_M} = \dot r\overrightarrow{u_r} + r\dot\theta\overrightarrow{u_\theta} + \dot z\overrightarrow{u_z}\\
  \ddot{\overrightarrow{OM}} &= \overrightarrow{\Gamma_M} = (\ddot r-r\dot\theta^2)\overrightarrow{u_r} + (r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\overrightarrow{u_\theta} + \ddot z\overrightarrow{u_z} = (\ddot r-r\dot\theta^2)\overrightarrow{u_r} + \frac {1}{r}\frac {d(r^2\dot\theta)}{dt}\overrightarrow{u_\theta}+ \ddot z\overrightarrow{u_z}
\end{align}

Il est à noter que l'on peut retrouver ces résultats de la manière suivante :

\begin{align}        
  \dot{\overrightarrow{OM}}  &= \frac {d\overrightarrow{OM}}{dt} = \frac {d(r\overrightarrow{u_r} + z\overrightarrow{u_z})}{dt} = \frac {d(r\overrightarrow{u_r})}{dt} + \frac {d(z\overrightarrow{u_z})}{dt}\\
&= \frac {dr}{dt} \overrightarrow{u_r} + r \frac {d(\overrightarrow{u_r})}{dt} + \frac {dz}{dt} \overrightarrow{u_z}  + z \frac {d(\overrightarrow{u_z})}{dt} \\
\\
  \ddot{\overrightarrow{OM}}  &= \frac {d(\dot{\overrightarrow{OM}})}{dt} = \frac {d^2(\overrightarrow{OM})}{dt^2} = \frac {d(\dot {r}\overrightarrow{u_r} + r\dot\theta\overrightarrow{u_\theta} + \dot z\overrightarrow{u_z})}{dt} = \frac {d(\dot r\overrightarrow{u_r})}{dt}+\frac {d(r\dot\theta\overrightarrow{u_\theta})}{dt}+\frac {d(\dot z\overrightarrow{u_z})}{dt}\\
&= \ddot r\overrightarrow{u_r}+\dot r\frac{d(\overrightarrow{u_r})}{dt}+\dot r\dot\theta\overrightarrow{u_\theta}+r\ddot\theta\overrightarrow{u_\theta}+r\dot\theta\frac{d(\overrightarrow{u_\theta})}{dt}+\ddot z\overrightarrow{u_z}+\dot z\frac {d(\overrightarrow{u_z})}{dt}\\
\\
\end{align}

etc. avec :

\begin{align}
  \frac {dr}{dt} &= \dot r \quad;\quad \frac {dz}{dt}=\dot z \quad;\quad \frac {d(\overrightarrow{u_r})}{dt}=\frac {d(\overrightarrow{u_r})}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\dot\theta\overrightarrow{u_\theta} \quad;\quad \frac {d(\overrightarrow{u_\theta})}{dt}= \frac {d(\overrightarrow{u_\theta})}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-\dot\theta\overrightarrow{u_r} \quad;\quad \frac {d(\overrightarrow{u_z})}{dt}=\overrightarrow{0}.
\\
\end{align}

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Coordonnées sphériques