Équation paramétrique

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En géométrie, une équation paramétrique est une équation définissant un ensemble géométrique, comme une droite ou un arc géométrique, ou plus généralement un sous-espace affine ou une hypersurface.

Un exemple de dessin défini par une équation paramétrique (courbes du papillon).

Exemple introductif[modifier | modifier le code]

L'objectif est de définir une droite Δ dans un espace euclidien. Soit A un espace affine réel de dimension 3, E son espace vectoriel associé et (Oe1e2e3) un repère orthonormal R de E. On suppose que la droite Δ contient le point A de coordonnées (1; 3; 5) et qu'elle possède u, de coordonnées (2; -3; 5) dans la base associée au repère R, comme vecteur directeur[1].

Soit un point M élément de la droite Δ, le vecteur d'extrémité A et M est colinéaire à u, car u est un vecteur directeur de Δ, cela signifie qu'il existe un nombre réel k tel que :

\overrightarrow{AM} = k\vec{u}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{AM} = 2k\vec{e_1} - 3k\vec{e_2} + 5k\vec{e_3}

Cette égalité s'écrit encore, en termes de coordonnées, si x, y et z désignent les coordonnées du point M dans le repère R :

\begin{pmatrix} x-1 \\ y - 3 \\ z-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2k \\ -3k \\ 5k\end{pmatrix}

Les coordonnées d'un point M de la droite Δ vérifient les égalités suivantes, dites équation paramétrique de la droite :

(\Delta) \quad \left\{\begin{matrix}  x &= &{\color{Blue}2}k  & + &{\color{Red}1} \\ y &= &{\color{Blue}-3} k  & + &{\color{Red}3}  \\ z &= &{\color{Blue}5} k  & + & {\color{Red}5} \end{matrix}\right.

On remarque que les valeurs bleues correspondent aux coordonnées du vecteur directeur u et les rouges au point A.

Arc paramétré[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Paramétrage.

L'exemple introductif montre comment il est possible de définir un ensemble géométrique de l'espace à l'aide d'une équation paramétrée d'une droite. Cette propriété ne se limite pas à une droite, un arc paramétrique se définit aussi à l'aide d'une équation de cette nature. Ainsi, une hélice est définie par une équation du type[2]:

\left \{ \begin{matrix}
x = &x_0 + &r \cdot \cos(2\pi \cdot t) \\
y = &y_0 + &r \cdot \sin(2\pi \cdot t) \\
z = &z_0 + &p \cdot t
\end{matrix} \right .\quad\text{avec}\quad r,p \in \mathbb R

Sous-espace affine[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Sous-espace affine.

Si maintenant A est un espace affine de dimension n, d'espace vectoriel associé E si (Oe1, …, en) est un repère R de A, il est aussi possible de définir un sous-espace affine S de A à l'aide d'un système d'équations paramétriques. Soit d la dimension du sous-espace affine contenant un point M de coordonnées (a1, …, an) et de direction de base (u1, …, ud). Soit (uj1, …, ujn) les coordonnées du vecteur uj, l'équation paramétrique du sous-espace affine S a pour coordonnées [3]:

(S) \quad \left\{\begin{matrix}  x_1 &= &a_1  & + &k_1u_{11} + \cdots + k_d u_{d1} \\ x_2 &= &a_2  & + &k_1u_{12} + \cdots + k_d u_{d2} \\ \vdots \\ x_n &= &a_n  & + &k_1u_{1n} + \cdots + k_d u_{dn} \end{matrix}\right.

Variété[modifier | modifier le code]

Il est enfin possible de généraliser l'équation paramétrique à une sous-variété de dimension quelconque d'un espace euclidien de dimension d, définissant une hypersurface. Les équations suivantes correspondent à celles d'une surface cylindrique de révolution C, plongée dans un espace affine de dimension 3.

(C) \quad \left\{\begin{matrix}  x &= &a_1  & + &r \cdot \cos(2\pi \cdot k_1) \\ y &= &a_2  & + &r \cdot \sin(2\pi \cdot k_1) \\ z &= & 0 & + &k_2 \end{matrix}\right.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Cet exemple est extrait de la vidéo : S. Maniez, Équation paramétrique de droite spatiale, France5.fr
  2. S. Mehl Hélice Chronomath
  3. N. Drakos R. Moore Équations paramétriques sur le site geothalg (2002)