Topologie initiale

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En mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie initiale, sur un ensemble muni d'une famille d'applications à valeurs dans des espaces topologiques, est la topologie la moins fine pour laquelle toutes ces applications sont continues. Deux cas particuliers importants de topologies initiales sont la topologie induite et la topologie produit. La notion duale est celle de topologie finale.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient X un ensemble et (fi)iI une famille d'applications, chacune définie sur X et à valeurs dans un espace topologique Yi. La topologie initiale associée à ces données est la moins fine topologie sur X pour laquelle toutes les fi sont continues.

Autrement dit, c'est la topologie engendrée par l'ensemble de toutes les parties de X de la forme fi−1(U), où i appartient à I et où U est un ouvert de l'espace Yi correspondant.

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriété caractéristique de la topologie initiale

Propriétés[modifier | modifier le code]

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Cette topologie initiale sur X est caractérisée par la propriété universelle suivante : pour tout espace topologique Z, une application g : ZX est continue (X étant muni de la topologie initiale) si — et bien sûr seulement si — toutes les applications fig : ZYi le sont.

Cela résulte immédiatement de la définition de la topologie initiale par une prébase et du critère de continuité associé.

Plongement dans le produit[modifier | modifier le code]

La topologie initiale sur X est la moins fine pour laquelle l'application canonique f, de X dans le produit des Yi, est continue. Cette application f est alors un plongement si (et seulement si) elle est injective, autrement dit si la famille des fi est séparante (en), c'est-à-dire si pour tous points distincts x et y dans X, il existe un indice i tel que fi(x) ≠ fi(y).

Famille séparant les points des fermés[modifier | modifier le code]

Pour qu'une topologie donnée sur X coïncide avec la topologie initiale associée aux fi, une condition suffisante est que les fi−1(U), pour iI et U ouvert de Yi, en forment non seulement une prébase mais une base. On démontre que cette condition équivaut à ce que la famille des fi sépare les points des fermés, c'est-à-dire que pour tout fermé F de X et tout point x de X n'appartenant pas à F, il existe un indice i tel que fi(x) ne soit pas adhérent à fi(F).

Si de plus X est un espace T0, les fi séparent aussi les points donc X est plongé dans le produit des Yi.

Références[modifier | modifier le code]