Entropie de Rényi

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L'entropie de Rényi, due à Alfréd Rényi, est une fonction mathématique qui correspond à la quantité d'information contenue dans la probabilité de collision d'une variable aléatoire.

Définition[modifier | modifier le code]

Étant donnés une variable aléatoire discrète X à n valeurs possibles (x_1,x_2,\ldots x_n), ainsi qu'un paramètre réel \alpha strictement positif et différent de 1, l' entropie de Rényi d'ordre \alpha de X est définie par la formule :

H_\alpha(X)= \frac{1}{1-\alpha}\log \sum_{i=1}^nP(X = x_i)^\alpha

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

L'entropie de Rényi généralise d'autres acceptations de la notion d'entropie, qui correspondent chacune à des valeurs particulières de \alpha.

Hartley[modifier | modifier le code]

Le cas \alpha = 0 donne:

H_0(X) = \log n = \log |X|

ce qui correspond au logarithme du cardinal de X, qui correspond à l'entropie de Hartley.

Shannon[modifier | modifier le code]

D'après la Règle de L'Hôpital, on peut trouver une limite à H_\alpha(X) quand \alpha tend vers 1:

\lim_{\alpha\rightarrow 1}H_\alpha(X) = - \sum_{i=1}^n p_i \log p_i

Cette expression correspond à l'entropie de Shannon.

Collision[modifier | modifier le code]

Dans le cas où \alpha = 2, on trouve l'entropie dite de collision, appelée parfois simplement "entropie de Rényi":

H_2(X) = - \log \sum_{i=1}^n p_i^2 = - \log P(X = Y)

Y est une variable aléatoire indépendante et identiquement distribuée par rapport à X.

Min[modifier | modifier le code]

En faisant tendre \alpha vers l'infini, on trouve:

H_\infty (X) = - \log \sup_{i=1..n} p_i

Il s'agit de l'entropie min.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

  • Entropie de Shannon
  • (en) A. Rényi, On measures of entropy and information, in Proc. 4th Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. vol. 1, 1960, p. 547-561.