Loi de puissance

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La distribution d'une loi de puissance, correspondant à un classement de popularité des sites web. À gauche la zone verte illustre le principe des 80-20 du principe de Pareto. À droite la queue de la distribution illustre l'effet longue traîne.

La loi de puissance est une relation mathématique entre deux quantités. Si une quantité est la fréquence d'un évènement et l'autre est la taille d'un évènement, alors la relation est une distribution de la loi de puissance si les fréquences diminuent très lentement lorsque la taille de l'évènement augmente.

En science, une loi de puissance est une relation entre deux quantités x et y qui peut s'écrire de la façon suivante :

y = ax^k

a est une constante dite constante de proportionnalité et k est une autre constante, dite exposant, puissance, indice ou encore degré de la loi.

On observe des lois de puissance dans beaucoup de domaines scientifiques (physique, biologie, psychologie, sociologie, économie, linguistique). Elles permettent en effet de décrire tous les phénomènes qui présentent une invariance d'échelle.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Invariance d'échelle[modifier | modifier le code]

L'une des caractéristique des lois de puissance est leur invariance d'échelle. Le phénomène est le suivant : pour un changement d'échelle de la variable, la fonction est seulement multipliée par un coefficient :

f(c x) = a(c x)^k = c^k f(x) \propto f(x).\!

Ainsi toute les lois de puissance de même exposant sont équivalente à un facteur constant près.

Tracé logarithmique[modifier | modifier le code]

Sur un graphique aux échelles logarithmiques, le graphe d'une loi de puissance est une droite. En effet, la relation ci-dessus peut s'écrire :

\scriptstyle \log(y) = k\log(x) + \log(a)\,\!

En posant \scriptstyle X = \log x, et \scriptstyle Y = \log y, on trouve l'équation d'une fonction affine \scriptstyle Y = \alpha X+\beta dont la pente \scriptstyle\alpha est la valeur de l'exposant k et l'ordonnée à l'origine \scriptstyle\beta est le logarithme de la constante de proportionnalité a

Loi de puissance statistique[modifier | modifier le code]

Elle est facilement confondue avec la loi de probabilité log-normale car elles sont toutes les deux asymptotiques. Pour éviter cet écueil on peut utiliser des méthodes bayesiennes ou de test statistique d'hypothèse. La caractérisation par un graphique en échelle logarithmique peut prêter à confusion avec une distribution log-normale, une règle simple pour les différencier est de vérifier que le tracé log-log est droit sur au moins trois ordres de grandeurs.

Modélisation[modifier | modifier le code]

De nombreux phénomènes peuvent être modélisés par une loi de puissance. On donne ici quelques exemples.

Sociologie et psychologie[modifier | modifier le code]

  • La loi de puissance s'observe dans les wikis suivant la règle des 90-9-1 : 90 % de la population utilisatrice ne contribue pas ; neuf pour cent sont des contributeurs occasionnels et un pour cent de la population totale contribue régulièrement.
  • La Loi de Stevens qui donne une relation entre la perception et la stimulation, s'écrit comme une loi puissance.

Physique[modifier | modifier le code]

  • En thermodynamique, la loi de Stefan-Boltzmann donne une relation entre la fonction d'énergie et la température.

Réseaux[modifier | modifier le code]

Certains réseaux, comme Internet peuvent être modélisés par ce que l'on appelle des réseau invariant d'échelle, où les degrés du graphe suivent une loi de puissance.

Notes et références[modifier | modifier le code]


Articles connexes[modifier | modifier le code]

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