Dimension

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Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur/sa hauteur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.

En physique et en mathématique, la notion de dimension signifie d'abord le nombre de directions indépendantes, puis a été étendue.

Technique[modifier | modifier le code]

Dans l'absolu, les dimensions d'une pièce peuvent être choisies de manière totalement arbitraire, l'important étant qu'elles soient compatibles avec l'utilisation finale de la pièce. Dans un but de normalisation, il est toutefois préférable d'utiliser comme dimensions linéaires nominales des valeurs de la « série de Renard ».

  • objet de 350 × 250 × 255 mm.
  • description : (L)ongueur × (l)argeur × (h)auteur.
  • forme : D = (L × l × h)

Physique[modifier | modifier le code]

En physique, le terme « dimension » renvoie à deux notions complètement différentes.

Dimension d'un espace vectoriel[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dimension d'un espace vectoriel.

La physique utilise beaucoup la notion mathématique d'espace vectoriel. On peut simplifier sa définition en disant que la dimension d'un espace est le nombre de variables qui servent à définir un état, un événement. Ainsi, on dit classiquement que notre univers est à quatre dimensions, puisqu'un événement se définit par la position dans l'espace (x, y, z) et l'instant t auquel cet événement survient.

  • Un objet volumique constant (c'est-à-dire dont les propriétés sont indépendantes du temps, du moins durant l'étude) est dit à trois dimensions, car il faut trois nombres (x, y, z) pour désigner un de ses points ;
  • un objet plan (comme une feuille de papier) dont on néglige l'épaisseur est dit à deux dimensions, car il faut deux nombres (x, y) pour désigner un de ses points ;
  • un objet linéaire (comme un fil) dont on néglige l'épaisseur est dit à une dimension, car il suffit d'un seul nombre x pour désigner un de ses points (abscisse curviligne) ;
  • un objet ponctuel (comme un point) dont on néglige la taille est dit de dimension zéro, car une fois que l'on a désigné le point, on n'a besoin d'aucun paramètre supplémentaire pour le trouver.

Ces concepts sont repris en modélisation informatique (objet 2D, 3D).

Cette notion est la traduction de la notion mathématique de dimension (voir plus bas).

Dimension d'une grandeur[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Analyse dimensionnelle.

La dimension d'une grandeur physique est sa dimension exprimée par rapport aux dimensions des sept unités de base du Système International. On exprime la valeur d'une grandeur avec une unité. Par exemple, la vitesse a la dimension d'une longueur divisée par un temps (c'est-à-dire que l'unité de vitesse dans le Système International est le mètre par seconde).

Dimensions supplémentaires[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dimensions supplémentaires.

Mathématiques[modifier | modifier le code]

Dimension d'un espace vectoriel[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dimension d'un espace vectoriel.

En algèbre linéaire, la dimension d'un espace vectoriel E sur un corps K est le cardinal commun à toutes les bases de E. Une base est une famille libre maximale ou une famille génératrice minimale. Si ce cardinal est fini, il représente le nombre de vecteurs de base à introduire pour écrire les coordonnées d'un vecteur. Cette notion conduit à la classification des espaces vectoriels : deux espaces vectoriels sur K sont isomorphes s'ils ont même dimension.

Par exemple, l'espace vectoriel réel des suites réelles est de dimension infinie. Dans un tel espace, il existe des familles libres finies arbitrairement grandes, mais aucune famille génératrice finie.

La dimension d'un espace affine et la dimension d'un convexe sont dérivées de cette notion de dimension.

Dimension d'une variété topologique ou d'une variété différentiable[modifier | modifier le code]

La dimension d'une variété topologique est une généralisation courbée de la notion de dimension d'un espace vectoriel. Comme une variété topologique est définie par recollement de morceaux homéomorphes à des ouverts des espaces vectoriels \R^n ou \mathbb{C}^n, on dit que cette variété est de dimension n. Il en est de même pour la dimension d'une variété différentielle : sa dimension est la dimension de l'espace vectoriel dans lequel on choisit les ouverts pour fabriquer les cartes locales.

Dimension fractale[modifier | modifier le code]

Construction de la courbe de von Koch
Article détaillé : Dimension fractale.

En géométrie fractale, la dimension fractale est une grandeur qui a vocation à traduire la façon qu'a un ensemble de remplir l'espace, à toutes les échelles. Dans le cas des fractales, elle est non entière et supérieure à la dimension topologique.

Ce terme est un terme générique qui recouvre plusieurs définitions. Chacune peut donner des résultats différents selon l'ensemble considéré. Les définitions les plus importantes sont la dimension de Hausdorff, la dimension de Minkowski (ou "box-counting"), et la dimension de corrélation.

Dimension topologique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dimension topologique.

La dimension topologique, définie par récurrence, associe à chaque partie P de Rn un entier, égal à la dimension algébrique si P est un sous-espace affine, à n si P est d'intérieur non vide, à 1 si P est une courbe régulière, à 2 si P est une surface régulière, etc. De manière générale elle attribue à un ensemble usuel sa dimension intuitive qui est le nombre de variables indépendantes nécessaire pour le décrire.

Dimension en algèbre commutative et en géométrie algébrique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dimension de Krull.

En géométrie algébrique, l'espace topologique sous-jacent à une variété algébrique ou un schéma est relativement grossier (ne comporte pas beaucoup de parties ouvertes). La notion adéquate est celle de dimension de Krull qui mesure la longueur maximale de chaines de parties fermées irréductibles. Elle correspond à l'intuition (dimension vectorielle; dimension topologique) le cas échéant (espace affine; variétés sans point singulier sur le corps des nombres réels).

Pour un anneau commutatif unitaire A, sa dimension est la dimension de Krull du spectre premier Spec A. Par exemple, un corps est de dimension 0, alors que l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps et à n variables est de dimension n.

Dimensions d'un graphe[modifier | modifier le code]

Le graphe de Möbius-Kantor dessiné dans un plan (dimension 2) avec des arêtes de longueur 1.
Article détaillé : Dimension (théorie des graphes).

En théorie des graphes, la dimension d'un graphe est le plus petit nombre entier n tel qu'une représentation classique du graphe dans l'espace affine euclidien E^n de dimension n ne comporte que des segments de longueur 1.

Dans la représentation classique d'un graphe, les sommets sont représentés par des points et les arêtes par des segments de droite.

Dans le cas d'un graphe complet, où tous les sommets sont reliés, la dimension du graphe coïncide avec la dimension du simplexe associé. Les autres graphes comportent moins d'arêtes et arrivent souvent à utiliser moins de dimensions que ce cas limite.

Dans les œuvres de science-fiction[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Univers parallèle.

Dans le domaine de la science-fiction, la quatrième dimension désigne, soit une quatrième dimension spatiale (en ajout avec la longueur, la largeur et la hauteur) qui serait responsable de faits insolites (cf: Théorie d'Everett); soit une autre dimension, celle-ci, temporelle et non spatiale : c'est-à-dire l'espace-temps à travers lequel les protagonistes pourraient voyager (cf : vitesse supraluminique). Par extension, le terme « dimension » a finalement été utilisé pour caractériser les mondes dits « parallèles », c'est-à-dire par lesquels on ne peut pas accéder en voyageant dans l'espace ; on ne peut y accéder qu'en utilisant un appareil ouvrant une « faille » entre les « dimensions », ou bien à l'occasion d'un événement accidentel. On dit que le monde parallèle est situé dans une « autre dimension ».

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Lien externe[modifier | modifier le code]

Dimensions, film éducatif réalisé par l'académicien Étienne Ghys

Articles connexes[modifier | modifier le code]