Martingale (calcul stochastique)

Une martingale $X$ est un type de processus stochastique (c'est-à-dire aléatoire) dynamique, tel que son espérance mathématique $E(X)$ à l'instant $t$ dépend de l'information disponible à une certaine date $s$, dénotée $F_{s}$ : $E(X_{t}|F_{s})=X_{s}$ (avec $s\leq t$). $X$ est un processus adapté à la filtration $F$.

On parlera de sous-martingale si $E(X_{t}|F_{s})\geq X_{s}$ et de sur-martingale si $E(X_{t}|F_{s})\leq X_{s}$.

Une martingale peut modéliser les gains accumulés au cours de répétitions indépendantes d'un jeu de hasard équilibré, où le joueur s'autorise à modifier sa mise en fonction des gains passés, d'où l'utilisation du terme martingale emprunté au monde du jeu d'argent.

Définitions

Processus stochastique

Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, généralement indexée par $\mathbb {R} ^{+}$ ou $\mathbb {N}$.

Filtration

Une filtration est une suite croissante de tribus $({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}$, c'est-à-dire ${\mathcal {F}}_{n}\subset {\mathcal {F}}_{n+1},\ \ \forall n\in \mathbb {N}$.

Filtration naturelle

Soit $(X_{n})_{n\geq 0}$ une suite de variables aléatoires. On dit que $({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}$ définie par ${\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{0},\ldots ,X_{n}),\ \forall n\in \mathbb {N}$ est la filtration naturelle de la suite $(X_{n})_{n\geq 0}$.

Processus adapté

On dit que le processus $(X_{n})_{n\geq 0}$ est adapté à la filtration $({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}$ si $X_{n}$ est ${\mathcal {F}}_{n}$-mesurable pour tout entier n.

Martingale dans $\mathbb {N}$

Soit $({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}$ une filtration.

Soit $(M_{n})_{n\geq 0}$ une suite de variables aléatoires.

On dit que $(M_{n})_{n\geq 0}$ est une martingale par rapport à $({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}$ si:

1. $(M_{n})_{n\geq 0}$ est adaptée à la filtration $({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}$.
2. $M_{n}\,$ est intégrable pour tout entier n.
3. $E(M_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})=M_{n}$.

Si $(M_{n})_{n\geq 0}$ respecte les deux premières conditions, et $E(M_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})\geq M_{n}\ \forall n$ alors on l'appelle sous-martingale, et si $E(M_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})\leq M_{n}\ \forall n$, alors on l'appelle sur-martingale.

On dit que $(M_{n})_{n\geq 0}$ est une ${\mathcal {F}}_{n}$-martingale.

Processus prévisible

Soit $({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}$ une filtration.

Soit $(Y_{n})_{n\geq 0}$ une suite de variables aléatoires.

On dit que $(Y_{n})_{n\geq 0}$ est processus prévisible si $Y_{0}\,$ est ${\mathcal {F}}_{0}$-mesurable et $Y_{n+1}\,$ est ${\mathcal {F}}_{n}$-mesurable pour tout entier n.

Historique du nom

Donnons ici une histoire anti-chronologique du nom (et non du concept) de martingale (issue de cette note)

En théorie des probabilités, la première apparition du mot martingale (et non du concept) se trouve dans la thèse de Jean Ville (en 1939), au chapitre IV, paragraphe 2 dans l'expression : « système de jeu ou martingale ». Il précise que ce terme est emprunté du vocabulaire des joueurs. Notons que la dénomination anglaise (martingale) a été reprise de la française par Joseph Leo Doob, alors rapporteur de la thèse de Ville.

La martingale dans les jeux

Dans le langage des jeux, le terme martingale apparaît pour la première fois en 1611 dans le dictionnaire franco-anglais de Randle Cotgrave. L'expression « à la martingale » est définie avec les termes : absurdly, foolishly, untowardly, grossely, rudely, in the homeliest manner (absurde, stupide, fâcheusement, grossièrement, brutalement, de manière laide). Dans le dictionnaire de l'Abbé Antoine François Prévost de 1750, est proposée une stratégie qui consiste pour le joueur à doubler sa mise à chaque perte "pour se retirer avec un gain sûr, supposé qu'il gagne une fois". On peut penser que cette stratégie peut être considérée comme absurde. Selon une expression provençale, jouga a la martegalo signifie : jouer de manière incompréhensible, absurde. Notons que le terme martingale fait son apparition dans le dictionnaire de l'Académie française en 1762.

La martingale est absurde ?

Le terme martegalo se rapporte aux habitants de Martigues. La situation isolée de Martigues, au XVI^e siècle, « a valu à ses habitants une réputation de naïveté proverbiale » ; on leur attribue une certaine « badauderie », de la « naïveté » ainsi que « des propos goguenards ».

Propriétés

Propriété 1

Soit $(M_{n})_{n\geq 0}$ une martingale.

On a $E(M_{n+1})=E(E(M_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n}))=E(M_{n})=\ldots =E(M_{0})$

Autrement dit, la suite $(E(M_{n}))_{n\geq 0}$ est constante.

Exemples de martingales

• Soit $X\,$ une variable aléatoire intégrable et $X_{n}:=E(X|{\mathcal {F}}_{n})$.

Alors $(X_{n})_{n}\,$ est une ${\mathcal {F}}_{n}$-martingale.

• Soit $(X_{k})_{k}\,$ une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées.

La suite $(S_{n})_{n}\,$ définie par $S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}X_{k}$ est une ${\mathcal {F}}_{n}$-martingale avec ${\mathcal {F}}_{n}=\sigma (X_{0},\ldots ,X_{n})$.

• Soit $(X_{n})_{n}$ une ${\mathcal {F}}_{n}$-martingale, soit $(Y_{n})_{n}$ un processus borné prévisible par rapport à $({\mathcal {F}}_{n})_{n}$.

Alors $(Z_{n})_{n}\,$ définie par $Z_{n}:=Y_{0}X_{0}+\sum _{k=1}^{n}Y_{k}(X_{k}-X_{k-1})$ est une ${\mathcal {F}}_{n}$-martingale.

• Martingale de Doob

On étudie l'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire X selon une suite de variables aléatoires $(Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ définies sur le même espace probabilisé et on pose :

$X_{n}=\mathbb {E} [X|Y_{0},...,Y_{n}]$

La suite des $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est appelée martingale de Doob.

• Martingale de Wald

On définit la suite des $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ selon la fonction génératrice d'une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées $(Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$

$X_{n}=e^{t\sum _{i=1}^{n}Y_{i}}\,\mathbb {E} [e^{tY}]^{-n}$

La suite des $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est appelée martingale de Wald.

• Exemple de martingale à temps continu

On peut par exemple définir des martingales avec des mouvements browniens. Ceci a de nombreux liens avec l'intégration stochastique. On commence par définir la filtration comme étant la filtration naturelle d'un mouvement brownien standard $(B_{t})_{t}$. Alors le processus stochastique $(M_{t}=B_{t}^{2}-t)_{t}$ est une martingale. Ceci donne par ailleurs la décomposition de Doob de la sous-martingale $(B_{t}^{2})_{t}$

Martingales et temps d'arrêts

Théorème 1

Soit $(M_{n})_{n}\,$ une ${\mathcal {F}}_{n}$martingale et $T\,$ un temps d'arrêt.

Alors $(M_{n\wedge T})_{n}\,$ est une martingale (appelée "martingale arrêtée").

Démonstration

• $M_{n\wedge T}=\sum _{j=1}^{n-1}M_{j}*1_{(T=j)}+M_{n}*1_{(T\geq n)}$.

$\forall k<n\ M_{k}\ et\ 1_{(T=j)}$ sont ${\mathcal {F}}_{n}$-mesurable.

$(T\geq n)=(T<n)^{c}=(\bigcup _{k=0}^{n-1}(T=k))^{c}\in {\mathcal {F}}_{n}$.

Donc $M_{n\wedge T}\,$ est ${\mathcal {F}}_{n}$-mesurable

• $|M_{n\wedge T}|\leq |M_{n}|+|\sum _{j=1}^{n-1}M_{j}|$ d'où $M_{n\wedge T}\,$ est intégrable.

• $E(M_{n+1\wedge T}|{\mathcal {F}}_{n})=E(\sum _{j=1}^{n-1+1}M_{j}*1_{(T=j)}|{\mathcal {F}}_{n})+E(M_{n+1}*1_{(T\geq n+1)}|{\mathcal {F}}_{n})$.

Or $M_{j}\ et\ 1_{(T=j)}$ sont ${\mathcal {F}}_{n}$-mesurable $\forall j\leq n$, de même pour $1_{(T\geq n+1)}$.

$E(M_{n+1\wedge T}|{\mathcal {F}}_{n})=\sum _{j=1}^{n}M_{j}*1_{(T=j)}+1_{(T\geq n+1)}*E(M_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})=\sum _{j=1}^{n}M_{j}*1_{(T=j)}+1_{(T\geq n+1)}*M_{n}=M_{n\wedge T}$.

 

Corollaire

$E(M_{0})=E(M_{n\wedge T})$.

Bibliographie

• Processus stochastiques, Dominique Foata et Aimé Fuchs, Dunod, 2004, (ISBN 2 10 048850 3)