Martingale (calcul stochastique)
Une martingale est un type de processus stochastique (c'est-à-dire aléatoire) dynamique, tel que son espérance mathématique à l'instant dépend de l'information disponible à une certaine date , dénotée : (avec ). est un processus adapté à la filtration .
On parlera de sous-martingale si et de sur-martingale si .
Une martingale peut modéliser les gains accumulés au cours de répétitions indépendantes d'un jeu de hasard équilibré, où le joueur s'autorise à modifier sa mise en fonction des gains passés, d'où l'utilisation du terme martingale emprunté au monde du jeu d'argent.
Définitions
Processus stochastique
Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, généralement indexée par ou .
Filtration
Une filtration est une suite croissante de tribus , c'est-à-dire .
Filtration naturelle
Soit une suite de variables aléatoires. On dit que définie par est la filtration naturelle de la suite .
Processus adapté
On dit que le processus est adapté à la filtration si est -mesurable pour tout entier n.
Martingale dans
Soit une filtration.
Soit une suite de variables aléatoires.
On dit que est une martingale par rapport à si:
- est adaptée à la filtration .
- est intégrable pour tout entier n.
- .
Si respecte les deux premières conditions, et alors on l'appelle sous-martingale, et si , alors on l'appelle sur-martingale.
On dit que est une -martingale.
Processus prévisible
Soit une filtration.
Soit une suite de variables aléatoires.
On dit que est processus prévisible si est -mesurable et est -mesurable pour tout entier n.
Historique du nom
Donnons ici une histoire anti-chronologique du nom (et non du concept) de martingale (issue de cette note[1])
En théorie des probabilités, la première apparition du mot martingale (et non du concept) se trouve dans la thèse[2] de Jean Ville (en 1939), au chapitre IV, paragraphe 2 dans l'expression : « système de jeu ou martingale ». Il précise que ce terme est emprunté du vocabulaire des joueurs. Notons que la dénomination anglaise (martingale) a été reprise de la française par Joseph Leo Doob, alors rapporteur de la thèse de Ville.
La martingale dans les jeux
Dans le langage des jeux, le terme martingale apparaît pour la première fois en 1611 dans le dictionnaire franco-anglais de Randle Cotgrave[3]. L'expression « à la martingale » est définie avec les termes : absurdly, foolishly, untowardly, grossely, rudely, in the homeliest manner (absurde, stupide, fâcheusement, grossièrement, brutalement, de manière laide). Dans le dictionnaire[4] de l'Abbé Antoine François Prévost de 1750, est proposée une stratégie qui consiste pour le joueur à doubler sa mise à chaque perte "pour se retirer avec un gain sûr, supposé qu'il gagne une fois". On peut penser que cette stratégie peut être considérée comme absurde. Selon une expression provençale[5], jouga a la martegalo signifie : jouer de manière incompréhensible, absurde. Notons que le terme martingale fait son apparition dans le dictionnaire de l'Académie française en 1762.
La martingale est absurde ?
Le terme martegalo se rapporte aux habitants de Martigues. La situation isolée de Martigues, au XVIe siècle, « a valu à ses habitants une réputation de naïveté proverbiale » ; on leur attribue une certaine « badauderie », de la « naïveté » ainsi que « des propos goguenards »[1].
Propriétés
Propriété 1
Soit une martingale.
On a
Autrement dit, la suite est constante.
Exemples de martingales
- Soit une variable aléatoire intégrable et .
Alors est une -martingale.
- Soit une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées.
La suite définie par est une -martingale avec [6].
- Soit une -martingale, soit un processus borné prévisible par rapport à .
Alors définie par est une -martingale.
- Martingale de Doob
On étudie l'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire X selon une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé et on pose :
La suite des est appelée martingale de Doob.
- Martingale de Wald
On définit la suite des selon la fonction génératrice d'une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées
La suite des est appelée martingale de Wald.
- Exemple de martingale à temps continu
On peut par exemple définir des martingales avec des mouvements browniens. Ceci a de nombreux liens avec l'intégration stochastique. On commence par définir la filtration comme étant la filtration naturelle d'un mouvement brownien standard . Alors le processus stochastique est une martingale. Ceci donne par ailleurs la décomposition de Doob de la sous-martingale
Martingales et temps d'arrêts
Théorème 1
Soit une martingale et un temps d'arrêt.
Alors est une martingale (appelée "martingale arrêtée").
- .
sont -mesurable.
.
Donc est -mesurable
- d'où est intégrable.
- .
Or sont -mesurable , de même pour .
.Corollaire
.
Bibliographie
- Processus stochastiques, Dominique Foata et Aimé Fuchs, Dunod, 2004, (ISBN 2 10 048850 3)
Notes et références
- [1]histoire des martingales, Roger Mansuy, Math. & Sci. hum. / Mathematical Social Sciences (43e année, n° 169, 2005(1), p. 105-113)
- Ville, J., Étude critique de la notion de collectif, Paris, Gauthier-Villars,
- A Dictionarie of the French and English Tongues A Dictionarie of the French and English Tongues, Randle Cotgrave, édition originale de 1611.
- [2] Manuel lexique ou dictionnaire portatif des mots François (1750).
- [3], voir Lou Trésor dou Félibrige ou Dictionnaire de provençal-français (1879), de Frédéric Mistral pour les expressions provençales.
- où désigne la tribu engendrée par les donc l'ensemble des parties de