Temps d'arrêt

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Le temps d'arrêt est un concept mathématique.

Définitions[modifier | modifier le code]

Définition — Une variable aléatoire est un temps d'arrêt par rapport à une filtration si,

ou bien, de manière équivalente, si,

Interprétation[modifier | modifier le code]

Imaginons que désigne ici la tribu engendrée par la suite et que les variables aléatoires représentent les résultats d'un joueur lors des parties successives d'un jeu. Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un espace d'états fini ou dénombrable, une partie appartient à si et seulement s'il existe tel que

Supposons que représente le numéro de la partie après laquelle le joueur décide d'arrêter de jouer : est donc un temps d'arrêt si et seulement si la décision d'arrêter est prise en fonction des résultats des parties déjà jouées au moment de l'arrêt, i.e. si pour tout il existe un sous ensemble tel que  :

L'instant où le joueur s'arrête est donc un temps d'arrêt si la décision d'arrêt ne tient pas compte des résultats des parties futures, donc sous l'hypothèse que don de double-vue et tricherie sont exclus.

Notations[modifier | modifier le code]

  • Soient une suite de variables aléatoires (un processus stochastique) et T un temps d'arrêt par rapport à une filtration . Le processus observé au temps T (ou arrêté au temps T) est noté et est défini par
Sur l'ensemble la définition de est problématique : l'ambigüité est de facto levée en posant
  • Soit un temps d'arrêt et soit
    • est la variable aléatoire définie par
    • est la variable aléatoire définie par .

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriété — Soit un temps d'arrêt, soit . Alors et sont des temps d'arrêt.

Propriété — De même, si sont des temps d'arrêt, alors en est un.

Définition et propriété — Soit un temps d'arrêt et est appelé évènement antérieur à si:

L'ensemble de ces évènements forme une sous-tribu de appelée tribu antérieure à et notée

Proposition — Soient et deux temps d'arrêt tels que p.s.. On a alors .

Lemme — Soit une variable aléatoire -mesurable. est -mesurable ssi est -mesurable.

Proposition —  est -mesurable.

Exemples et contrexemples[modifier | modifier le code]

Considérons une suite de variable aléatoires, à valeurs dans un ensemble et notons la tribu engendrée par la suite Les variables aléatoires ci-dessous sont des temps d'arrêt pour la filtration  :

  • Soit un élément de  ; on appelle instant de premier retour en et on note la variable aléatoire définie ci-dessous :
  • De même pour une partie de on appelle instant de première entrée dans et on note la variable aléatoire ci-dessous définie :
  • L'instant de -ème retour en noté et défini par récurrence par :
ou encore l'instant de -ème entrée dans sont des t.a..
  • Pour et dans on pose On peut montrer que n'est pas un temps d'arrêt, mais que, par contre, est un temps d'arrêt.

Articles connexes[modifier | modifier le code]