Constante de Planck

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Constante de Planck
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L'énergie d'un électron dans un atome est quantifiée.

Unités SI joule par hertz (J.s)
Dimension M·L2·T-1
Nature Grandeur scalaire
Symbole usuel
Expressions



=
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En physique, la constante de Planck, notée , est utilisée pour décrire la taille des quanta. Nommée d'après le physicien Max Planck, cette constante joue un rôle central dans la mécanique quantique. Elle relie notamment l’énergie d’un photon () à sa fréquence (lettre grecque nu) : .

Dans de nombreux cas, en mécanique quantique, il est plus naturel de parler de la fréquence angulaire que de la fréquence proprement dite, c'est-à-dire d'exprimer la fréquence en radian par seconde et non en hertz (ce qui correspond à la vitesse de rotation de la phase dans l'espace réciproque). Dans ces formules, il est le plus souvent utile d'absorber le facteur 2π dans la constante elle-même, ce qui conduit à utiliser la constante de Planck réduite (ou constante de Dirac), égale à la constante de Planck divisée par 2π, et notée (h-barre) :

Présentation[modifier | modifier le code]

Historique[modifier | modifier le code]

Cette constante a été initialement introduite par Max Planck dans l'étude de la radiation du corps noir, comme rapport de proportionnalité entre l'incrément minimal d'énergie E d'un oscillateur électriquement chargé et la fréquence f de l'onde électromagnétique associée. Par la suite, en 1905, cet incrément quantifié d'énergie a été relié par Albert Einstein à un quantum de l'onde électromagnétique elle-même, ce quantum lumineux se comportant parfois comme une particule électriquement neutre et non comme une onde électromagnétique. Ce quantum fut finalement dénommé le photon. La relation ainsi mise en évidence par Planck et Einstein relie l'énergie E d'un photon avec sa fréquence f ou sa fréquence angulaire ω :

L'énergie en question, 6,626×10-34 J⋅s, est extrêmement petite par rapport aux ordres de grandeur des énergies quotidiennes.

Dans de nombreux cas, la quantification de l'énergie implique que seuls certains niveaux d'énergie sont autorisés, et les valeurs intermédiaires ne peuvent pas être atteintes[1].

Cette constante a joué un rôle primordial dans le modèle de l'atome d'hydrogène, proposé en 1913 et connu à présent sous le nom de modèle de Bohr afin d'expliquer la présence des raies spectrales qui traduisent le fait que les fréquences du mouvement de l'électron autour du noyau central ne sont pas quelconques, et de même que l'énergie correspondante est parfaitement bien déterminée. Niels Bohr admit qu'un électron sur des orbites stationnaires ne peut pas émettre un rayonnement, contrairement à ce qui était soutenu en Électromagnétique Classique. Il émit l'hypothèse qui devint la 1re condition de quantification de Bohr, à savoir que l'action de la quantité de mouvement sur une orbite complète est un multiple entier de (constante de Planck). Idée également connue comme "hypothèse quantique de Planck".

Faisant suite à la découverte de Planck, il fut reconnu que d'une manière générale l'action d'un système physique ne pouvait pas prendre n'importe quelle valeur, mais était également quantifiée par un quantum d'action à présent dénommé constante de Planck. Cette approche correspond à la première interprétation de la mécanique quantique, développée par Bohr et Sommerfeld, pour laquelle les particules existent et ont des trajectoires, mais sont des variables cachées contraintes par les lois de la mécanique quantique. Cette interprétation est à présent désuète, remplacée par une approche où la notion même de trajectoire n'existe plus, et où toutes les particules sont représentées par une fonction d'onde s'étendant dans l'espace et le temps : cette approche ne permet plus de définir l'action au sens classique du terme.

Plus généralement, en 1924, l'hypothèse de De Broglie sur la dualité onde-corpuscule généralise cette relation à une particule quelconque (et non uniquement le photon) en reliant la quantité de mouvement d'une particule et sa longueur d'onde par une équation simple, hypothèse confirmée expérimentalement peu de temps plus tard, posant ainsi les bases de la mécanique quantique :

Constante réduite[modifier | modifier le code]

L'hypothèse de De Broglie conduisit Erwin Schrödinger à proposer en 1925 que l'évolution d'une particule de masse m dans un champ d'énergie potentielle est décrite par une fonction d'onde qui associe à chaque point de l'espace un nombre complexe (analysable en un module et une phase) et qui satisfait à l'équation suivante :

L'amplitude de la fonction d'onde normalisée est une distribution de probabilité : le carré de la fonction d'onde donne la probabilité de mesurer la présence de la particule au point  ; et la phase quantique est une rotation pure dans le plan complexe, dont la fréquence de rotation dépend de l'énergie cinétique de la particule[2].

Si par exemple le hamiltonien de la particule ne dépend pas explicitement du temps, la fonction d'onde peut se décomposer en une fonction de l'espace et une fonction du temps. Une résolution par séparation des variables montre que l'équation est alors de la forme :

avec

De ce fait, dans de nombreux cas, en mécanique quantique, il est plus naturel de parler de la fréquence angulaire que de la fréquence proprement dite, c'est-à-dire d'exprimer la fréquence en radian par seconde et non en hertz (ce qui correspond à la vitesse de rotation de la phase dans l'espace réciproque). Dans ces formules, il est le plus souvent utile d'absorber le facteur 2π dans la constante elle-même, ce qui conduit à utiliser la constante de Planck réduite (ou constante de Dirac), égale à la constante de Planck divisée par 2π, et notée (h-barre) :

L'énergie d'un photon de fréquence angulaire ω=2πf s'écrit alors :

De même, le moment cinétique est alors relié au nombre d'onde par :

Ces deux relations sont les composantes temporelles et spatiales d'une formule de relativité restreinte portant sur des quadrivecteurs :

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Valeur[modifier | modifier le code]

Dans les unités SI, le CODATA de 2014 recommande la valeur suivante :

h6,626 070 040×10-34 J⋅s,

avec une incertitude-type de ± 0,000 000 081×10-34 J⋅s, soit une incertitude relative de 1,2×10-8.

h4,135 667 662×10-15 eV⋅s.

Une grandeur associée est le « quantum d’action », également appelé « constante de Planck réduite » ou encore (parfois) « constante de Dirac », notée ħ et prononcée « h barre » :

  • Valeur en joules-secondes :
    • ħ = h / 2 π ≈ 1,054 571 800×10-34 J⋅s,
    • avec une incertitude-type de ± 0,000 000 013×10-34 J⋅s.
  • Valeur en électrons-volts-secondes :
    • ħ ≈ 6,582 119 514(40)×10-16 eV⋅s,
    • avec une incertitude-type de ± 0,000 000 040×10-16 eV⋅s, soit une incertitude relative de 6,1×10-9.
  • Valeur en MeV-femtomètres :
    • ħ c ≈ 197,326 978 8 MeV⋅fm,
    • avec une incertitude-type de ±0,000 001 2 MeV⋅fm, soit une incertitude relative de 6,1×10-9.

L'incertitude relative est sensiblement la même sur la constante h et sur , puisque l'incertitude sur la constante 2π qui relie les deux est évidemment négligeable (cette constante est connue avec 22,459×1012 chiffres significatifs en 2016).

Dimension[modifier | modifier le code]

Dans sa formulation initiale, la constante apparaît comme le rapport d'une énergie (en joule) par une fréquence (en hertz), donc de dimension M·L2·T-1. La constante de Planck possède ainsi les dimensions d’une énergie multipliée par le temps, c'est-à-dire d'une action. Il est également possible d’écrire ces unités sous la forme d’une « quantité de mouvement par une longueur ».

De son côté, la constante réduite apparaît comme le rapport d'une énergie (en joule) par une fréquence angulaire (en radian par seconde), et s'exprime donc en kgm2s-1rad-1. Malgré l'identité des unités, ce n'est cependant pas physiquement un moment angulaire[3], qui a un caractère pseudovectoriel, et dont la multiplication par une vitesse de rotation donne une énergie cinétique de rotation. C'est la constante par laquelle l'énergie (un scalaire d'orientation 10) est divisée pour trouver la vitesse de rotation équivalente de la phase quantique.

Incertitude[modifier | modifier le code]

La constante de Planck est l'une des constantes physiques pour laquelle l'incertitude est la plus grande, une incertitude relative de 12×10-9. Elle n'est dépassée sur ce plan que par la constante de Boltzmann (0,57×10-6) et la constante gravitationnelle (46×10-6), et bien sûr la constante cosmologique très largement hors concours.

Cette incertitude est à son tour un facteur d'incertitude sur d'autres constantes physiques dans la détermination desquelles elle intervient :

Mesure[modifier | modifier le code]

En théorie, la constante de Planck pourrait être calculée à partir du spectre d'émission d'un corps noir, et c'est cette donnée physique qui en a fourni la première estimation faite par Planck.

Les mesures les plus précises se fondent actuellement sur la balance du watt (qui fait intervenir les constantes de l'électron, et présuppose que la théorie sur l'effet Josephson et l'effet Hall quantique entier est correcte) et sur la mesure de la densité d'un cristal par diffraction de rayons X (qui fait intervenir le nombre d'Avogadro). La difficulté de la mesure est illustrée par le fait que ces deux méthodes ne donnent pas des résultats compatibles, sans que l'on puisse déterminer laquelle des deux est moins précise qu'attendu.

Un des enjeux d'une mesure précise de la constante de Planck est de pouvoir donner au kilogramme une définition ne dépendant plus d'un artéfact, le kilogramme étalon détenu au Pavillon de Breteuil. Dans la mesure où l'incertitude sur la conservation de cet étalon devient progressivement supérieur à celle sur la constante de Planck, il sera à terme plus précis de mesurer la masse d'un kilogramme à partir d'une valeur conventionnellement fixée de la constante de Planck (comme c'est déjà le cas pour la vitesse de la lumière), par l'une ou l'autre des méthodes ci-dessus.

Interprétation physique[modifier | modifier le code]

Quantum d'action[modifier | modifier le code]

La physique quantique peut découler du principe suivant : il n'existe pas de système physique présentant un changement inférieur à entre deux observations[4]. De là on peut montrer qu'entre deux observations séparées par un intervalle de temps Δt, la variation d'action observée étant toujours supérieure à , le produit de la variation d'énergie E par la variation de temps doit vérifier[4] :

Il en sera de même pour tout couple de grandeur physique dont le produit a la dimension d'une action, en M·L2·T-1, comme la position et la quantité de mouvement.

Grandeur physique[modifier | modifier le code]

La valeur numérique de cette constante dépend du système d'unités dans lequel elle est exprimée. Dans le système international d'unités, c'est l'une des plus petites valeur numérique apparaissant en physique. Ceci reflète le fait que à une échelle pour laquelle « l'homme est la mesure de toute chose », où les énergies se comptent typiquement en kilojoule et les temps en secondes ou en heure, le quantum d'action est tellement petit qu'il n'a aucune conséquence dans la vie courante.

La constante de Planck peut être vue comme une constante de l'échelle sub-atomique. Le système d'unité atomique se fonde sur cette constante.

On peut considérer inversement que la petite valeur numérique de la constante de Planck vient de ce que les systèmes physiques traités dans la vie courante sont formés d'un très grand nombre de particules, le nombre d'Avogadro. Par exemple, un photon de lumière verte de longueur d'onde de 555 nm (le maximum de sensibilité de l'œil humain) a une fréquence de 540 THz, et chaque photon a donc une énergie de E = hf = 3,58×10-19. Cette valeur est extrêmement faible, parce qu'elle ne correspond pas à notre expérience quotidienne (et pourtant, il suffit de quelques photons de cette énergie pour donner une impression lumineuse détectable à l'œil). Si en revanche on considère l'énergie contenue dans une mole de photons, en la multipliant par le nombre d'Avogadro 6,022×1023 mol−1, on trouve au final une énergie tout à fait respectable de 216 kJ⋅mol-1.

Quantification[modifier | modifier le code]

La constante de Planck est utilisée pour décrire les phénomènes de quantification qui se produisent avec les particules et dont certaines propriétés physiques ne prennent que des valeurs multiples de valeurs fixes au lieu d'un ensemble continu de valeurs possibles. Par exemple la fréquence d'une particule est reliée à son énergie, laquelle est quantifiée dans certaines situations (électron dans un atome par exemple) : .

On retrouve de telles conditions de quantification dans toute la mécanique quantique. Par exemple, si est le moment angulaire total d’un système et le moment angulaire du système mesuré sur une direction quelconque, ces quantités ne peuvent prendre que les valeurs :

  • , avec : j = 0, 1, 2, 3, 4...
  • , avec : m = -j, -j+1..., j-1, j.

En conséquence, est parfois considérée comme un quantum de moment angulaire, y compris le quantum de spin, c'est-à-dire que le moment angulaire de n’importe quel système, mesuré par rapport à n'importe quel choix particulier d'axe, est toujours un multiple entier de cette valeur.

Principe d'incertitude[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Principe d'incertitude.

La constante de Planck réduite apparaît également dans les énoncés du principe d'incertitude de Heisenberg. L’écart type d’une mesure de position et celui d’une mesure de quantité de mouvement le long du même axe obéissent à la relation suivante :

Principe qui peut également s'énoncer de la manière suivante :

m est la masse de l'objet considéré, supposée constante, et v sa vitesse.

Unités de Planck[modifier | modifier le code]

La constante de Planck réduite est également employée comme constante fondamentale exprimant l'échelle quantique, dans le système d’unités dit des unités de Planck, ainsi que dans le système d'unités atomiques.

L'intérêt du système d'unités atomiques est que la constante de Planck y ayant par définition une valeur exacte égale à l'unité, l'incertitude sur sa mesure ne se répercute pas sur les résultats d'une mesure physique lorsqu'elle est exprimée dans ces unités, seule intervient l'incertitude sur la mesure de la grandeur physique elle-même.

Inversement, les unités de Planck sont généralement connues avec une mauvaise précision, l'imprécision majeure étant celle introduite par la constante gravitationnelle.

Autres domaines[modifier | modifier le code]

Cette constante est (entre autres) utilisée dans :

Première et seconde constantes de Planck de luminance[modifier | modifier le code]

Dans la théorie des corps noirs, notamment pour l'expression de la luminance, on utilise deux autres constantes de Planck appelées C1 et C2 :

  • C1 = 3,741 5×10-16 W⋅m2⋅sr-1, soit C1 = 1,190 5×10-16 W⋅m2
  • C2 = 1,438 8×10-2 m⋅K

Origine de la notation[modifier | modifier le code]

Selon les auteurs, la lettre h est l'abréviation des mots en allemand Hilfsgröße (« variable auxiliaire »)[5], Hilfe! (« à l'aide ! »)[6],[7] ou encore Helfen (« aider »)[8].

Représentation informatique[modifier | modifier le code]

La constante de Planck possède les représentations Unicode suivantes :

  •  : U+210E (constante de Planck) ;
  •  : U+210F (constante de Planck réduite sur 2π) ;
  • en LATEX, s'écrit \hbar.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « {{{1}}} »
  2. Christoph Schiller, Motion Mountain vol. 4, p. 88.
  3. Constante de Planck, Formules de physique.
  4. a et b Approche due à Niels Bohr, d'après Christoph Schiller, Motion Mountain vol. IV, p. 16.
  5. (de) M. Planck: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum. Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft 2(1900) Nr. 17, S. 237–245, Berlin (vorgetragen am 14. Dezember 1900)
  6. François Vanucci, Le vrai roman des particules élémentaires, Dunod, (lire en ligne), chapitre 4, page 27.
  7. Étienne Klein. (). Parenthèse culture 15 - La révolution quantique. IFG. La scène se produit à 13:40.
  8. Alberto Pérez Izquierdo (trad. de l'espagnol par Nathalie Renevier), La révolution de l'infiniment petit : Planck et la physique quantique [« MAX PLANCK - La teoría cuántica : La revolución de lo muy pequeño »], Paris, RBA France, (ISBN 9782823701531), p. 9

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]