Représentation de Schrödinger

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En mécanique quantique, la représentation de Schrödinger est une des trois formulations et modes de traitement des problèmes dépendant du temps dans le cadre de la mécanique quantique classique. Dans cette représentation, l'état d'un système évolue avec le temps.

Généralités[modifier | modifier le code]

Le principe de superposition quantique stipule qu'une fonction d'état est en général une combinaison linéaire d'états propres. Dans cette représentation:

L'opérateur évolution du temps[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Opérateur d'évolution.

Partant d'un état initial connu à l'instant t_0, l'évolution de la fonction d'état entre les deux instants successifs  t_0 et  t est gouvernée directement (sans repasser par l'équation de Schrödinger) par un opérateur unitaire U(t,t_0) (opérateur lui-même déduit du hamiltonien de l'équation de Schrödinger) nommé le propagateur de l'équation de Schrödinger. L'action sur le ket |\Psi(t_0)\rangle_S est de le transformer en le ket |\Psi(t)\rangle_S  :

|\Psi(t)\rangle_S = U(t,t_0)|\Psi(t_0)\rangle_S

Lien avec les autres représentations[modifier | modifier le code]

En ceci cette formulation diffère de la représentation de Heisenberg dans laquelle les états propres sont indépendants du temps mais où ce sont les opérateurs agissant sur ces états propres (les observables) qui varient au cours du temps. Il existe enfin un moyen terme, la représentation d'interaction dans laquelle l'évolution au cours du temps est prise en charge à la fois par la fonction d'onde et l'opérateur.

Représentation :
Heisenberg Interaction Schrödinger
Ket constant |\Psi(t)\rangle_I = U_0^{-1} |\Psi(t)\rangle_S |\Psi(t)\rangle_S = U |\Psi(t_0)\rangle_S
Observable A_H (t)=U^{-1} A_S U A_I (t)=U_0^{-1} A_S U_0 constant
Opérateur d'évolution  \hat H = \hat H_0 + \hat V(t) U(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H(t-t_0)}
U_0(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H_0(t-t_0)}
Mécanique quantique  : Théorème d'EhrenfestÉquation de SchrödingerPropagateur

Articles connexes[modifier | modifier le code]

  • J. J. Sakurai et s. F. Tuan, Modern Quantum Mechanics, Benjamin-Cummings 1985, Reading, Addison-Wesley 2003