Statistique de Bose-Einstein

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En mécanique quantique et en physique statistique, la statistique de Bose-Einstein désigne la distribution statistique de bosons indiscernables (tous similaires) sur les états d'énergie d'un système à l'équilibre thermodynamique. La distribution en question résulte d'une particularité des bosons : les particules de spin entier ne sont pas assujetties au principe d'exclusion de Pauli, à savoir que plusieurs bosons peuvent occuper simultanément un même état quantique.

Distribution de Bose-Einstein[modifier | modifier le code]

La statistique de Bose-Einstein a été introduite par Satyendranath Bose en 1920 pour les photons et généralisée aux atomes par Albert Einstein en 1924. Statistiquement, à l'équilibre thermodynamique, le nombre ni de particules d'énergie Ei est

où :

Entropie et dérivation dans l'ensemble microcanonique[modifier | modifier le code]

L'entropie d'un système constitué par des bosons indiscernables, décrits par des fonctions d'onde symétriques (spin entier), peut être trouvée en utilisant la description statistique due à J. Willard Gibbs[1]. Elle vaut

constante de Boltzmann,
  nombre d'occupation (proportion de bosons dans un état d'énergie donné),
  nombre d'états possibles dans le groupe j (dégénérescence).

Dans l'ensemble microcanonique, les variables thermodynamiques à l’équilibre sont obtenus par maximisation de l'entropie sous contrainte de respecter le nombre total de bosons   et l'énergie totale  . En utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, α pour le nombre de particules et β pour l'énergie, la solution vérifie

La solution de ce système d'équations indépendantes est la distribution statistique de Bose-Einstein

On peut retrouver les valeur de α et β à partir du premier principe de la thermodynamique. Donc, α=-μ*β et β=(kBT)-1.

Limite classique et comparaison avec les fermions[modifier | modifier le code]

À haute température, lorsque les effets quantiques ne se font plus sentir, la statistique de Bose-Einstein, comme la statistique de Fermi-Dirac qui régit les fermions, tend vers la statistique de Maxwell-Boltzmann. Aux basses températures, cependant, les deux statistiques diffèrent entre elles. Ainsi, à température nulle :

  • avec la statistique de Bose-Einstein, le niveau de plus basse énergie contient tous les bosons;
  • avec la statistique de Fermi-Dirac, les niveaux de plus basse énergie contiennent chacun au plus gi fermions.

Condensat de Bose-Einstein[modifier | modifier le code]

Comme vu précédemment, la statistique de Bose-Einstein prévoit qu'à température nulle, toutes les particules occupent le même état quantique, celui de plus basse énergie. Ce phénomène est observable à l'échelle macroscopique et constitue un condensat de Bose-Einstein.

Voir également[modifier | modifier le code]

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Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Lev Landau et Evgueni Lifchits, Statistical Physics, Pergamon Press, (lire en ligne)